KTH   Matematik    5B1116      Matematik II för ME 2005/6

3. LA2              Linjär algebra 2.

Utskrift(PDF)
Förkunskaper

Föreläsningar

Avsnitt i LGA (Linjär geometri och algebra.)

Innehåll (LGA):

Kap.1
Kap. 3.2 - 3.3, Kap. 4
Kap. 5, Kap. 6
F10
  • 1.1-1.2 Linjära ekvationssystem, inledning.

  • 1.3 Gauss-Jordans metod.
Gausselimination ((3.1), (3.2) kallas den metod som oftast används för handberäkning av lösningar till ekvationssystem.
Gauss-Jordans metod är en variant som driver de formella stegen lite längre.
Här ska man framförallt vara uppmärksam på de tre fallen:
  • En unik lösning.
  • Ingen lösning.
  • Oändligt många lösningar.

F11

  • 1.4 Allmänna egenskaper:
    Liggande och stående system.
  • 1.5 Simultana system.
Här behandlas det viktiga specialfallet homogena system, där alla högerled är 0.
Homogena system har alltid minst en lösning, nollösningen.
Liggande system har fler variabler än ekvationer och har antingen oändligt många lösningar (normalt) eller inga.
Stående system har fler ekvationer än variabler och har normalt inga lösningar, men de andra två fallen kan förekomma.
Simultana system består av flera system med samma vänsterled men olika högerled. De kan lösas simultant (dvs på en gång.)

F12

  • 5.1 Matriser. Transponering. Enhetsmatriser.

  • Matrisalgebra.
 Matrisalgebra går ut på att bilda algebraiska kombinationer av matriser med hjälp av bl.a matrismultiplikation.Observera att kommutativitet inte gäller, dvs AB är normalt inte samma matris som BA.
Operationen transponering, AT, innebär att varje rad övergår till en kolumn (rad nr j blir kolumn nr j).
Enhetsmatriser fyller samma funktion som ettor i normal talalgebra. De är kvadratiska matriser med ettor i diagonalen och nollor i övrigt.

F13

  • 5.2 Matriser och linjära ekvationssystem.

  • 5.3 Inversmatriser. Beräkning. Egenskaper.
Högerleden i linjära ekvationssystem kan tillsammans ses som en matris-vektor-produkt, Av, där A är koefficientmatrisen och v variabelvektorn. Högerleden kan sammanfattas i den konstanta kolumnvektorn b.
(3.4) Ekvationssystemet skrivs alltså Av =b.
Detta ger möjlighet att skriva lösningen som v=A-1b, om systemmatrisen ( matrisen A) är kvadratisk och om inversmatrisen existerar.
A-1 existerar om det(A) är skild från 0.

F14

  • 6.1-5 Determinanter. Egenskaper ekvivalenta med att determinanten är skild från 0.

  • 6.6 Adjunkter. Formel för inversmatrisen.

I kapitel 6 studeras determinanter närmare. De kan utvecklas efter varje rad och varje kolumn och kan även förenklas i samband med beräkningar.
    De viktigaste ekvivalenta egenskaperna som nämns här är:
  1. Det(A) skild från 0.
  2. Det kvadratiska systemet Av=b har en unik lösning.
  3. A-1 existerar
Inversmatrisen A-1 kan också bestämmas via en formel som fordrar begreppet adjunkt.


F15-16
        3.2 Linjära avbildningar.
  • 3.3 Area- och volymsskala.
  • 3.2.1-3.2.2 Matriser för linjära avbildningar.
  • 3.2.3 Sammansättningar av linjära avbildningar och matrismultiplikation.
  • Kap 4 Allmänna Rn-rum.
Linjära avbildningar mellan rummen Rn och Rm tolkas olika beroende på vilka dimensioner n och m som är aktuella. Men linjariteten är en viktig princip som går att känna igen i samtliga fall.

Här visas hur yt- och volymsskalan relateras till determinanter.

En linjär avbildning kan representeras av en matris. Man kan definiera produkten av en matris A och en vektor u som en ny vektor v, v = Au, så att avbildningarna från u till v bildar en linjär transformation. Man får en naturlig definition av en (3.3) matrisprodukt genom att kräva att produkten AB skall representera en sammansättning av avbildningarna som representeras av B resp. A .



   Uppdaterad: 2005-11-01 Sidansvarig:Kursledare