Aktuell information för SF1904
På denna sida presenteras aktuell information som vad som behandlats på föreläsningar samt schemaändringar etc.

    

               Tentamen 28 maj 2019 nu klar

           Betygsgränser: A 43, B 38, C 29, D 23, E 17, Fx 16

 

 

Antalet övningsgrupper har minskat till  2.  Sal V22 utgår.

Grupperna kallas 2 och 3 tills vidare eftersom det tar schemaläggningen 14 dagar att ta bort en sal från schemat.



På indexsidan (sidan med alla länkarna) står det att en av lathundarna är tillåten som hjälpmedel på tentamen. Därför står  det (till skillnad från vissa föregående tentor)  i huvudet på den kommande tentan 28 maj att hjälpreda till miniräknare är tillåtet hjälpmedel på tentamen.

Ons 8 maj Började med att introducera M/M/1-systemet och tog fram gränsfördelningen för detsamma utgående från att det är en födelse-dödsprocess och visade att villkoren för stationaritet uppfylls. Härledde även förväntat antal kunder, l i M/M/1- systemet,och tog ur det fram förväntad kölängd,lq.
Därefter introducerades M/M/2-systemet och gränsfördelningen togs fram för detsamma utgående från att det är en födelse-dödsprocess. Härledde också förväntat antal kunder, l i M/M/ 2- systemet,och tog ur det fram förväntad kölängd,lq. Därefter visades hur dödsintensiterna för ett M/M/c-system ser ut och i samband med detta gavs en mycket snabb översikt av formlerna i §16.2. Gick sedan igenom det mest grundläggande om Jackson-nätverk och räknade  tentatalet 15-06-09:5 som exempel på detta.  Visade sedan § 16.3 och som exempel på situationen Poissonfördelade ankomster med betjäningstider som inte är exponentialfördelade räknades som  avslutning övningsuppgift 74 i kompendiet.


Tis 30 apr Började med att gå igenom födelseprocessen( som ju Poissonprocessen är ett specialfall av). Fortsatte med att visa att vi kan få explosion, dvs att man når oändligheten på ändlig tid och visade (tillräckligt och nödvändigt) villkor för att detta inte skall ske. D.v.s. villkoret för reguljär födelseprocess. Tog sedan som exempel dels en icke-reguljär och dels en reguljär födelseprocess.  Fortsatte med att definiera begreppet Födelse-dödsprocess. Löste sedan ekvationssystemet  0 = ?Q för att få
fram den stationära lösningen om den existerar, varvid faktorn ?i introducerades på ett naturligt sätt. Visade sedan hur man kan visa villkoren för att processen ska vara reguljär och skrev upp villkoret för att Födelse-dödsprocessen skall vara reguljär samt villkoren för att den ska vara staionär(är den stationär så är den också reguljär). Började sedan med köteori och gick  igenom nästan alla beteckningar på sid 11 i formelsamlingen (§16.1). Visade Littles formel och att om man vet värdet på en av l,lq,w och wq så kan man beräkna de övriga om man känner till ankomstintensiteten,betjäningsintensiteten och trafikintensiteten.
Avslutade med att förklara Kendalls beteckningssystem: A/B/c.


Fre 12 apr
Började med att repetera definitionen av Markovprocess i kontinuerlig tid, tidshomogen process, hur intensitetsmatrisen och uthoppssannolikhetsmatrisen ser ut samt att tiden till uthopp är exponentialfördelad. Visade som exempel på hur elementen i Q kan se ut ett exempel av tillförlitlighetskaraktär, nämligen exempel 6.3 i kompendiet. Jämförde sedan formlerna för absorption i det kontinuerliga fallet med dem i det diskreta fallet. Härledde därefter Kolmogorovs framåt-respektive bakåtekvationer som visar att vi kan få P(t) ur Q. Skrev dessutom upp det konkreta systemet av kopplade diffekvationer p'(t)=p(t)Q som behövs för att erhålla de obetingade sannolikheterna. Definierade därpå stationär fördelning och visade att den kan fås genom att lösa 0=?Q.(som härleddes utgående från ekvationssystemet ?=?P(t) och Kolmogorovs framåtekvation.) Berättade att en irreducibel kedja ( mer allmänt att kedjan har bara en sluten irreducibel delklass) på ett ändligt E är ergodisk.(Här i det kontinuerlga fallet finns ju ingen period ,så här är ju aperiodiciteten inget krav.) För kedjor med oändligt E krävs också att det existerar en stationär fördelning. Notera att den inbäddade hoppkedjan som beskrivs av uthoppssannolikhetsmatrisen mycket väl kan få vara periodisk. Skrev upp hur ?i kan tolkas som andel av tiden som en ergodisk kedja ligger i tillstånd i, och även formeln för den förväntade tiden man ligger tillstånd j mellan två besök i tillstånd i, och jämförde även här med det diskreta fallet. Gick avslutningsvis igenom Poissonprocessen.


Fre 5 apr  Började med att repetera att Markovkedjor med ändligt tillståndsrum har minst en stationär fördelning. Är kedjan dessutom irreducibel har den exakt en stationär fördelning. Är den dessutom aperiodisk är denna desutom oberoende av startfördelning d.v.s. ergodisk.
 
Tog därefter ett exempel med en aperiodisk  Markovkedja med 4 tillstånd, varav ett absorberande, ett genomgångstillstånd och 2 tillstånd som bildar ett slutet irreducibelt underrum som exempel på när man får oändligt många stationära fördelningar eftersom kedjan ej är irreducibel men ändlig.

Gick sedan igenom att i en ergodisk kedja kan asymptotiska sannolikheterna ?i fås som andelen av tiden som kedjan tillbringar i tillståndet i. Detta ger ?i=1/E(Ti) där Ti är tiden mellan två besök i tillstånd i . Det gäller då även att att ?j/?i är förväntat antal besök i j mellan två besök i tillstånd i eftersom om t ex denna kvot är två bör man göra dubbelt så många besök i j som i i dvs i genomsnitt 2 st per cykel baserad på i. Gjorde ett exempel på detta.

Gjorde sedan ett exempel med en aperiodisk irreducibel övergångsmatris med oändligt antal tillstånd där det visades att det i vissa fall existerade en lösning som därmed är den enda och att kedjan därmed är ergodisk.

Började sedan med Markovprocesser i  kontinuerlig tid. Införde övergångssannolikheterna pij(t) som bildar matrisen P(t). Skrev upp Chapman-Kolmogorovs ekvationer i kontinuerlig tid och visade på likheten med motsvarande ekvationer i diskret tid. Tog även upp att processen skall vara reguljär, d.v.s. bara ha ändligt många övergångar på ändlig tid.
Berättade efter detta att eftersom vi har tidshomogena processer som  saknar minne är tiden till uthopp från ett tillstånd i exponentialfördelad exp(qi), där qi är uthoppsintensiteteten och visade minneslösheten hos exponentialfördelningen.

Tog sedan fram intensitetsmatrisens element genom att högerderivera övergångsmatrisens element i nollan m.a.p. på tiden Införde sedan  övergångsintensitetsmatrisen Q. Visade därefter att på diagonalen i Q står qii som måste vara negativt och visade att qi=-qii så att man  i Q-matrisen på diagonalen kan läsa av uppehållsstidernas fördelningar (de är Exp(qi).Visade att varje radsumma=0 i Q. Visade till sist att sannolikheten för hopp från i till j är qij/qi. . 


Tis 27 mar  Började med att gå igenom begreppen absorberande tillstånd, genomgångstillstånd och A-kedja. Använde övningsuppgift 16 i läroboken som exempel för att visa hur man räknar ut sannolikheten att absorberas i tillstånd j vid start i tillstånd i, samt för att räkna ut den genomsnittliga tiden för absorption vid start i tillstånd i. Gick sedan igenom begreppen sluten och irreducibel. Illustrerade detta med en egen tillståndsgraf. Gick efter detta igenom definitionerna för när en fördelning är stationär och när den är ergodisk. Gick därefter igenom definition 4.4 i läroboken för att definiera begreppet aperiodisk och en kedjas period. Illustrerade detta m.h.a. tre olika tillståndsgrafer. Tog sedan en irreducibel och aperiodisk Markovkedja med 3 tillstånd som exempel på när man får en och endast en stationär fördelning oberoende av startfördelning. Visade även ett exempel med en ändlig och irreducibel Markovkedja med 2 tillstånd med perioden 2 som exempel på när man får en statonär fördelning som beror av startfördelningen.

Ons 20 mar
  P.g.a. att tekniken inte fungerade försvann tio minuter från föreläsningen. Presenterade sedan kursens hemsida som hittas på http://www.math.kth.se/matstat/gru eller på canvas och visade olika länkar och dess innehåll. Repeterade sedan begreppen betingad sannolikhet och lagen om total sannolikhet från grundkursen.
Definierade därefter begreppet stokastisk process och visade exempel på sådana.  Definierade även  begreppen parameterrum och tillståndsrum innan definitionen för en Markovprocess presenterades. Gav efter det muntligen några exempel på Markovprocesser. Gick sedan igenom begreppen övergångssannolikhet, övergångsmatris, uthoppssannolikhet fördelningsvektor och startfördelning. Räknade sedan ett exempel på detta utgående från en tillståndsgraf. Visade i samband med detta exempel Chapman-Kolmogorovs ekvationer som står i Formelsamlingen.
 









 

[Kurshemsida]     [Kursförteckning]     [Avdelningen Matematisk statistik]

Sidansvarig: Björn-Olof Skytt
Uppdaterad: 2019-03-07