Aktuell information.

              Här ges fortlöpande information om schemaändringar, vad som gåtts igenom på föreläsningar etc.

Tentan 19 dec är nu utlagd på Gamla tentor och KS

Tentan 23 okt är nu rättad.

Den kommer att vara scannad senast måndag. Den kommer att vara inrapporterad senast måndag. Informationen om kompletteringstentan kommer att att mailas ut till de berörda i början av nästa vecka.

Laboration 2

De som önskar redovisa Laboration 2 måste boka en redovisningstid senast torsdag 10/10 kl 23.59 (se nedan).

Se till att komma till labsalen minst tio minuter före redovisningstiden så att ni hinner logga in på datorn och öppna Matlab samt ta fram era redovisningsuppgifter.

Ni behöver också ha med er en utskrift av labspecifikationen som ni har skrivit era personnummer på förstasidan på. Denna utskrift undertecknar labassistenten efter att han eller hon har godkänt labben och utskriften fungerar sedan som ert kvitto på resultatet.

Instruktion om hur man anmäler sig till lab2

Gå in på personer. Välj en grupp 1-48. Gå in i kalender. Klicka på "Hitta möte". Välj kurs. Klicka på "Lämna in". Välj tid. Klicka på "Reservera".

KS:n med lösningar ligger nu på Gamla tentor och KS

Länkarna till lab 1 och lab 2 är nu uppdaterade

BETA ej längre tillåtet hjälpmedel på tentan

På gamla tentor stod att BETA är tillåtet hjälpmedel på tentan. Observera att BETA ej längre är tillåtet hjälpmedel på tentan.

Administrativa ärenden

I ärenden som är administrativa kontakta studentoffice@math.kth.se

Tentamen

Fr. o.m. per 1 HT18 består tentamen av två delar. Del I för godkänt och del II för högre betyg. Se Examinationsregler

Kontrollskrivningen

Kontrollskrivningen omfattar kap 2-5.Tillåtet hjälpmedel:miniräknare.

Ons 9 okt Började med att berätta när CHI-2-test används och tog som inledande exempel på detta uppgift 5 på tentan 8 juni 2018. Första timmen ägnades sedan helt åt att grundligt gå igenom exempel 13.18 i läroboken som exempel på test av given fördelning där man dels måste skatta minst en parameter ur data (i detta fall μ) för att skatta p₁,p_2,.. p_r, dels slå ihop grupper för att villkoret np_i≥5 skall gälla för alla i. Berättade sedan om när homogenitetstest används och tog som exempel på detta en forskningsrapport där man ville undersöka huruvida det var någon skillnad mellan 36 timmar gamla pojkar och flickor vad gällde vad de föredrog att titta på. Berättade efter detta att man vid oberoendetest kan använda sig av identiskt samma numerik som man gör vid homogenitetstest. Gjorde uppgift 5 på tentan 2017-01-09 som exempel på detta.

Mån 7 okt Inledde med att som repitition skriva upp samma lista som föregående föreläsning på viktiga definitioner och begrepp som används inom hypotesprövning, såsom nollhypotes,mothypotes, risknivå, p-värde, och styrka.Fortsatte sedan sedan med exempel 13.8 och gjorde nu hypotesprövning i fallet ensidigt test, dels med kofidensintervallmetoden dels med testvariabelmetoden. Detta gjordes med olika värden på risknivån α och m.h.a. detta visades också i vilket intervall p-värdet måste ligga. Gjorde sedan övningsuppgift 13.21a för att visa hur man tar fram styrkan hos ett test när man har använt sig av konfidensintervallmetoden. Utifrån detta visades även hur man tar fram styrkefunktionen - i detta fall h(θ) där θ =μ_x-μ_y. Gick sedan igenom linjär regression och visade att parametrarna α och β skattas med Minsta-kvadrat-metoden. Fortsatte med att visa hur man i multipel regression m.h.a. nollhypotesen H₀ :β_i =0 kan avgöra om man ska kasta respektive oberoende variabel x_i eller ej. Gjorde övningsuppgift 14.7a som exempel på detta. Avslutade med att skissa några exempel där man med hjälp av residualanalys kan avgöra huruvida det är troligt att y beror linjärt av x.

Ons 2 okt Inledde med att skriva upp en lista på viktiga definitioner och begrepp som används inom hypotesprövning, såsom nollhypotes,mothypotes, risknivå, p-värde, och styrka.Gick därefter igenom exempel 13.1 i läroboken som exempel på ett fall där man inte använder konfidensintervall för att testa sin nollhypotes.Fortsatte därefter med exempel 13.4 i läroboken, där man tar fram styrkan hos testet i exempel 13.1 för alternativet p=0.9, och tog även fram styrkefunktionen h(p) i detta fall.Började sedan med exempel 13.8 och gjorde hypotesprövning i fallet tvåsidigt test, dels med konfidensintervallmetoden dels med testvariabelmetoden. Detta gjordes med olika värden på risknivån α och m.h.a. detta visades också i vilket intervall p-värdet måste ligga. Hann sedan göra hypotesprövning i fallet ensidigt test med konfidensintervallmetoden innan det var dags att sluta.

Mån 30 sep Började med att repetera konfidensintervallet för skillnaden mellan väntevärdena hos två Normalfördelade stickprov där standardavvikelserna är okända och lika och hur man m.h.a. §11.2 viktar ihop de två stickprovsvarianserna för att få en skattning s av standardavvikelsen. Efter detta visades det viktiga fallet när man har parvisa observationer-"stickprov i par"- och att konfidensintervallet för väntevärdet av de parvisa skillnaderna då tas fram som om man har ett stickprov av parvisa skillnader. Som exempel på "Skillnad mellan stickprov" visades tentatal 2019-06-05:15 och som exempel på "Stickprov i par" visades tentatal 2019-08-12:15. Gick sedan igenom konfidensintervall med approximativ konfidensgrad där §12.3 används. Visade att om stickproven är så stora så att C.G.S. kan användas, så kan man bilda konfidensintervall med approximativ konfidensgrad för väntevärden och skillnader mellan väntevärden även om observationerna inte kommer från en Normalfördelning. Avslutade kapitel 12 med att visa konfidensintervall med approximativ konfidensgrad för p när X tillhör Bin(n,p), för py- px när Y tillhör Bin(ny,py) och X tillhör Bin(nx,px) samt för my i Poisson-fördelningen och att det i alla dessa fall förutsätter att Normalapproximation är möjlig enligt villkoren i §5. Tog därefter fram konfidensintervallet för standardavvikelsen utgående från §12.4 i Formelsamlingen. Visade utgående från detta konfidensintervall hur konfidensintervallet för variansen ser ut. Visade också utgående från det tvåsidiga konfidensintervallet för standardavvikelsen hur man tar fram det ensidiga.

Ons 25 sep Började med att definiera begreppet medelfel och tog som exempel medelfelet för skattningen av väntevärde när detta skattats med medelvärdet.Definierade därefter begreppen konfidensintervall och konfidensgrad i allmänna fallet. Härledde därefter det tvåsidiga konfidensintervallet för väntevärdet när mätdata kommer från en Normalfördelning där standardavvikelsen är känd. Visade utgående från detta hur man generellt bildar ensidigt nedåt begränsade och ensidigt uppåt begränsade konfidensintervall. Visade i samband med detta hur man använder §12.1 0ch 11.1 för att ta fram det tvåsidiga konfidensintervallet ovan. Visade sedan utgående från det första konfidensintervallet hur det tvåsidiga konfidensintervallet för väntevärdet ser ut när mätdata kommer från en Normalfördelning där standardavvikelsen är okänd. Därefter visades konfidensintervallet för skillnaden mellan väntevärdena hos två Normalfördelade stickprov där standardavvikelserna är kända. Sedan visades hur man bildar ett konfidensintervall med approximativ konfidensgrad för skillnaden mellan väntevärdena hos två Normalfördelade stickprov där standardavvikelserna är okända och olika. Därefter visades konfidensintervallet för skillnaden mellan väntevärdena hos två Normalfördelade stickprov där standardavvikelserna är okända och lika och hur man m.h.a. §11.2 viktar ihop de två stickprovsvarianserna för att få en skattning s av standardavvikelsen. Avslutade med att visa hur man m.h.a. §12.2 och §11.2 får fram det tvåsidiga konfidensintervallet i detta fall.

Mån 23 sep Började med att repetera begreppen TÄTA,TÄTA* ,TÄTA*obs. Presenterade därefter Maximum-Likelihood-metoden och räknade exempel 11.10 i läroboken som exempel på denna. Fortsatte med att gå igenom Minsta-kvadrat-metoden. Som exempel visades hur man kunde göra MK-skattningen av arean hos en kvadrat där 2 mätdata var sidans längd, och 3 mätdata var diagonalens längd. Tog sedan exempel 11.19 i läroboken som exempel på hur Minsta-kvadrat-skattning går till när två saker ska skattas. Definerade avslutningsvis begreppen väntevärdesriktighet och effektivitet och tog ett par enkla exempel på dessa.

Tor 19 sep Började med kap 10 och definierade medelvärde, stickprovsvarians, populationsvarians, variationskoefficient, median, kovarians och korrelationskoefficient. Gick sedan igenom begreppen grupperade data,absolut och relativ frekvens, klassindelade data,histogram och boxplott.Avslutade kapitel 10 med att visa hur man tar fram kvartiler och percentiler. Började sedan kap 11 med att redogöra för skillnaden mellan det riktiga värdet TÄTA,stickprovsvariabeln TÄTA* och punktskattningen TÄTA*obs. Tog som exempel på skattning hur man brukar skatta väntevärdet my och standardavvikelsen sigma vid okänd fördelning. Tog sedan som ytterligare exempel på skattningar hur man skattar p i Binomialfördelningen,Hypergeometriska fördelningen och ffg-fördelningen,my i Poissonfördelningen, lambda i exponentialfördelningen samt my och sigma i Normalfördelningen. Avslutade med att definera begreppet konsistent skattning.

Mån 16 sep Började med att repetera lite om Normalfördelningen. För att visa när och hur tabell 1 används visades exempel 6.2a och b. Exempel 6.2b är också exempel på att varje linjärkombination av oberoende N-fördelade slumpvariabler är normalfördelad.
Fortsatte med att ta fram k när P(E[X]-kD[X]<X<E[X]+kD[X])=0.95 som exempel på hur Tabell 2 används och pekade på tabell 2 för att visa vad k ungefär blir när sannolikheterna är 0.99 och 0.999.
Avslutade kapitel 6 med att presentera den viktiga Centrala Gränsvärdessatsen (CGS), som säger att summan av n oberoende likafördelade stokastiska variabler är approximativt normalfördelad om n är stort, och att detta även medför att medelvärdet är approximativt normalfördelat. Definierade sedan Hypergeometriska fördelningen och skrev upp dess sannolikhetsfunktion. Definierade sedan Binomialfördelningen och skrev upp dess sannolikhetsfunktion. Talade om att Hyp(N,n,p)~ Bin(n,p) om n/N<0.1. Visade sedan utgående från Bernoullifördelningen att villkoret np(1-p)>10 för Normalapproximation egentligen är ett C.G.S.-villkor. Fortsatte med att gå igenom halvkorrektion. Definierade efter detta Poissonfördelningen. Avslutade kap 7 med att berätta att sannolikhetsdefinitionen för Binomialfördelningen övergår i sannolikhetsfunktionen för Poissonfördelningen om p är litet, vilket motiverar att om p<0.1 så gäller att Bin(n,p)~Po(np).

Tor 12 sep Började med att som övning på att räkna ut en kovarians göra övningsuppgift 5.18. Gick sedan igenom räkneregler för kovarianser och skrev upp att C(aX+bY,cZ+dW)=acC(X,Z)+adC(X,W)+bcC(Y,Z)+bdC(Y,W) vilket bl.a. leder till den viktiga regeln att V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2C(X,Y) och att V(X+Y)=V(X)+V(Y) om X och Y är oberoende.Fortsatte med att ta fram väntevärde och standardavvikelse för medelväret av n st ober stokastiska variabler. Skrev i samband med detta upp Stora talens lag och Tjebysjevs olikhet. Skrev sedan upp täthetsfunktionen och fördelningsfunktionen för normalfördelningen. Skrev efter det upp täthetsfunktionen och fördelningsfunktionen för standardiserade normalfördelningen N(0,1). Skrev sedan upp att om X är N(E[X],D[X]) så gäller
att Y=(X-E[X])/D[X] är N(0,1). Berättade sedan om när och hur man använder Tabell 1 och Tabell 2 i formelsamlingen och vad alfa-kvantilen är. Tog fram P(E[X]-kD[X] < X < E[X]+kD[X]) för k=2 när X är N(E[X],D[X]) som exempel på hur Tabell 1 används, och skrev sedan som avslutning även upp sannolikheterna för att ett utfall hamnar högst en,två,tre respektive sex standardavvikelser ifrån väntevärdet.

Mån 9 sep Började med att repetera det i kap 5 som jag avslutade förra föreläsningen med. D.v.s. jag startade med att berätta att väntevärdet är vad man får i genomsnitt om man gör oändligt många försök. T.ex. blir ju det genomsnittliga värdet av ett tärningskast 3.5. Gjorde sedan exempel 5.1 i boken. Skrev sedan upp definitionen för E(X) resp. E(g(X)) i det diskreta fallet och det kontinuerliga fallet. Tog sedan och räknade ut E(X) och E(X²) i Ex. 5.1 i boken. Började därefter med dagens föreläsning genom att definiera variansen V( X) och standardavvikelsen D(X). Sedan använde jag mig även här av ex 5.1 i boken för att räkna ut variansen m.h.a. definitionen. Härledde sedan ur definitionen formeln V(X)=E(X²)-(E(X))² och räknade ut samma varians m.h.a. denna formel. Gick sedan igenom följande viktiga räkneregler för väntevärden och varianser: E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c, V(aX+b)=V(aX)=a²V(X), samt om X och Y är oberoende: V(X+Y)=V(X)+V(Y). Definierade även variationskoefficienten R(X)=D(X)/E(X).Fortsatte med att definiera systematiskt fel och slumpmässigt fel och redogjorde för skillnaden mellan noggrannhet och precision. Definierade sedan E[g(X,Y)] i det diskreta och det kontinuerliga fallet. Definierade sedan begreppet kovarians och visade att V(X)=C(X,X). Definerade sedan begreppet korrelationskoefficient och berättade om dess egenskaper. Visade att om X och Y är oberoende så leder det till att E(XY)=E(X)E(Y) vilket i sin tur leder till att C(X,Y)=0, d.v.s. att X och Y är okorrelerade. Visade sedan att omvändningen inte behöver vara sann genom att göra exempel 5.13 i läroboken.

Tor 5 sep Började med att gå igenom funktioner av stokastiska variabler. Tog som exempel i det diskreta fallet exempel 3.16 i Blom och som kontinuerliga exempel gjorde jag exempel 3.20 och exempel 3.19 i Blom. Fortsatte sedan med att gå igenom flerdimensionella diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler. Gick igenom begreppen simultan sannolikhetsfunktion repektive simultan täthetsfunktion och hur man ur dessa får fram den marginella sannolikhetsfunktionen respektive den marginella täthetsfunktionen och hur man vid oberoende även kan gå åt andra hållet. Visade till sist hur man räknar ut sannolikheter i det två-dimensionella diskreta och kontinuerliga fallet. Fortsatte med att visa hur man tar fram Fördelningsfunktionen för max(X,Y) och min(X,Y) utgående från Fördelningsfunktionerna för X respektive Y. Avslutade kapitel 4 med att som exempel på summa visa att summan av ober Poisonfördelade stok.var. är Poissonfördelad. Började med kapitel 5 och startade med att berätta att väntevärdet är vad man får i genomsnitt om man gör oändligt många försök. T.ex. blir ju det genomsnittliga värdet av ett tärningskast 3.5. Gjorde sedan exempel 5.1 i boken. Skrev sedan upp definitionen för E(X) resp. E(g(X)) i det diskreta fallet och det kontinuerliga fallet. Tog sedan och räknade ut E(X) och E(X²) i Ex. 5.1 i boken.

Tis 3 sep Gick först igenom Hypergeometriska fördelningen. Gick sedan igenom Poissonfördelningen och gjorde ex 7.7 som exempel på att summan av oberoende Poissonfördelningar är Poissonfördelad. Började sedan med kontinuerliga stokastiska variabler. Definierade täthetsfunktionen och gick igenom hur man ur den får fram Fördelningsfunktionen och vice versa. Berättade att eftersom hela kapitel 6 ägnas åt Normalfördelningen gås den igenom då. Gick därefter igenom exponentialfördelningen.Fortsatte med att visa att tiden mellan två händelser är exponentialfördelad om antalet händelser är Poissonfördelat. Visade även att exponentialfördelningen saknar minne. Gick sedan igenom den likformiga fördelningen och tog som exempel på denna exempel 3.8 och exempel 3.9 i läroboken. Tog till sist exempel 3.14 i läroboken som exempel på en blandad fördelning av diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler.

Fre 30 aug Gick först igenom ex 2.20 som är en intressant tillämpning av Bayes sats. Visade sedan definitionen för oberoende utgående från betingningsformeln. Avslutade därefter kapitel 2 med exempel 2.23 som exempel på oberoende. Inledde sedan kapitel 3 med att gå igenom begreppet stokastisk variabel och definera sannolikhetsfunktionen. Tog som exempel på denna ex 3.1 i läroboken och ritade även upp stolpdiagrammet. Definierade sedan Fördelningsfunktionen och berättade om dess egenskaper. Tog som exempel på denna ex 3.1 i läroboken och ritade även upp den. Gick sedan igenom ett antal viktiga diskreta fördelningar. Började med tvåpunktsfördelningen och då speciellt Bernoullifördelningen. Fortsatte med den likformiga fördelningen och för-första-gången-fördelningen och den snarlika geometriska fördelningen. Avslutade med att gå igenom Binomialfördelningen.

Ons 28 aug Började med att gå igenom fallet dragning utan återläggning utan hänsyn till ordning. Gick därefter igenom sannolikheten att vid n dragningar utan återläggning utan hänsyn till ordning dra k vita kulor från v vita och s svarta kulor. Detta är ett exempel på när man har Hypergeometrisk fördelning. Utvidgade sedan detta till sannolikheten att dra g gula och r röda och b blåa o.s.v när man har r färger. Gick sedan igenom sannolikheten att vid n dragningar med återläggning utan hänsyn till ordning dra k vita kulor från v vita och s svarta kulor. Detta är ett exempel på när man har Binomialfördelning. Utvidgade sedan detta till sannolikheten att dra g gula och r röda och b blåa o.s.v när man har r färger. Detta är ett exempel på när man har Multinomialfördelning.Började sedan med betingad sannolikhet. Illustrerade betingningsformeln m.h.a. exemplet på sid 26 i läroboken. Visade lagen om total sannolikhet m.h.a. Venndiagram och tog exempel 2.17 som exempel på denna. Visade även Bayes sats m.h.a. Venndiagram och tog exempel 2.19 som exempel på denna.

Mån 26 aug Presenterade först kursens hemsida som hittas både på http://www.math.kth.se/matstat/gru och på Canvassidan. Berättade om kursupplägget genom att visa olika länkar och dess innehåll. Fortsatte sedan med ge exempel på olika användningsområden som ämnet matematisk statistik har och denna kurs ger en introduktion till. Började sedan med att gå igenom utfall,utfallsrum,händelser.Förklarade därefter skillnaden mellan diskret och kontinuerlig fördelning. Tog övningsuppgift 2.1a och b som exempel på diskreta utfallsrum. Gick sedan igenom snitt, union, komplement och visade hur man med hjälp av Venndiagram räknar ut sannolikheter. Definierade i samband med detta disjunkthet. Resten av tiden ägnades åt kombinatorik. Började med multiplikationsprincipen och den klassiska sannolikhetsdefinitinen. Gick igenom draging med återläggning med hänsyn till ordning och tog som exempel att antal pinkoder blir 10^4 eftersom antal kombinationer när man drar k ggr från n element blir n^k.Som exempel på dragning utan återläggning med hänsyn till ordning tog jag en förening med 8 medlemmar som skulle välja ordförande,sekreterare och kassör vilket ger 8ggr 7ggr 6 kombinationer. Allmänna fallet n!/(n-k)! kombinationer.

[Kursförteckning] [Avdelningen Matematisk statistik]

Sidansvarig: Björn-Olof Skytt
Skapad: 2019-08-15