KTH Mathematik


Matematisk statistik
SF1924 Sannolikhetsteori och statistik för D.

                                           Aktuell information. 

              Här ges fortlöpande information om schemaändringar, vad som gåtts igenom på föreläsningar etc.
Alla administrativa frågor sköts av matematiks studentexpedition.



Anmälan till kontrollskrivningen är obligatorisk för de som önskar skriva denna och skall ske via Mina sidor. Anmälningstiden är 20/3-3/4


Kontrollskrivningen omfattar kap 2-5.Tillåtet hjälpmedel:miniräknare.




Mån 7 maj Tekniken krånglade vilket gjorde att föreläsningen blev 10 min försenad. Berättade först om när homogenitetstest används och tog som exempel på detta en forskningsrapport där man ville undersöka huruvida det var någon skillnad mellan 36 timmar gamla pojkar och flickor vad gällde vad de föredrog att titta på. Berättade efter detta att man vid oberoendetest kan använda sig av identiskt  samma numerik som man gör vid homogenitetstest. Gjorde uppgift 5 på tentan 2017-01-09 som exempel på detta.
Gick sedan igenom linjär regression och vad beteckningarna i formelsamlingens §13 betyder. Gick sedan på OH igenom exempel 14.7 i läroboken som exempel på hur man med hjälp av multipel regression går tillväga för att avgöra vilka storheter xi man ska förkasta eller inte när man antagit att y beror av xi:na. Avslutade med att skissa några exempel där man med hjälp av residualanalys kan avgöra huruvida det är troligt att y beror linjärt av x.

Fre 4 maj Började med exempel 13.4 i läroboken där man tar fram styrkan hos testet i exempel 13.1 för alternativet p=0.9, och tog även fram styrkefunktionen h(p) i detta fall. Fortsatte med att berätta när CHI-2-test används och tog som inledande exempel på detta exempel 13.17 i läroboken. Andra timmen ägnades sedan helt åt att grundligt gå igenom exempel 13.18 i läroboken som exempel på test av given fördelning där man dels måste skatta minst en parameter ur data (i detta fall μ) för att skatta p1,p2,.. pr, dels slå ihop grupper för att villkoret npi≥5 skall gälla för alla i.

Ons 2 maj Började från början med exempel 13.8 igen och gjorde hypotesprövning i fallet tvåsidigt test, dels med kofidensintervallmetoden dels med testvariabelmetoden. Detta gjordes med olika värden på risknivån α och m.h.a. detta visades också i vilket intervall p-värdet måste ligga. Gjorde sedan hypotesprövning i fallet ensidigt test, dels med kofidensintervallmetoden dels med testvariabelmetoden. Även här gjordes detta med olika värden på risknivån α och m.h.a. detta visades också här i vilket intervall p-värdet måste ligga. Gjorde sedan övningsuppgift 13.21a för att visa hur man tar fram styrkan hos ett test när man har använt sig av konfidensintervallmetoden. Utifrån detta visades även hur man tar fram styrkefunktionen - i detta fall h(θ) där θ =μ1-μ2.

Fre 27 april Började med att härleda konfidensintervallet för standardavvikelsen och för variansen utgående från att summan av kvadrerade N(0,1)-variabler tillhör CHI2-fördelningen. Visade även hur de ensidiga konfidensintervallen ser ut i detta fall. Fortsatte med att berätta lite om felfortplantning och härledde felfortplantningsformlerna i § 9.4a m.h.a. Taylorutveckling. Räknade övningsuppgift 11.13b som exempel på detta.Skrev sedan upp en lista på viktiga definitioner och begrepp som används inom hypotesprövning såsom nollhypotes,mothypotes, risknivå, p-värde, och styrka. Gick därefter igenom exempel 13.1 i läroboken som exempel på ett fall där man inte använder konfidensintervall för att testa sin nollhypotes. Införde i samband med detta begreppen signifikant*, signifikant**, och signifikant***, samt begreppen testvariabel och kritiskt område. Som exempel på hypotesprövning m.h.a. konfidensintervall-metoden använde jag mig därefter av exempel 13.8 i läroboken. Hann dock bara fallet tvåsidigt test.

Ons 25 april Började med att repetera härledninatt det ägen av det tvåsidiga konfidensintervallet för väntevärdet när mätdata kommer från en Normalfördelning där standardavvikelsen är känd.
Visade utgående från detta hur man generellt bildar ensidigt nedåt begränsade och ensidigt uppåt begränsade konfidensintervall. Visade sedan utgående från det första konfidensintervallet
hur det tvåsidiga konfidensintervallet för väntevärdet ser ut när mätdata kommer från en Normalfördelning där standardavvikelsen är okänd. Därefter visades konfidensintervallet för skillnaden mellan väntevärdena hos två Normalfördelade stickprov där standardavvikelserna är kända. Sedan visades hur man bildar ett konfidensintervall med approximativ konfidensgrad för skillnaden mellan väntevärdena hos två Normalfördelade stickprov där standardavvikelserna är okända och olika. Därefter visades konfidensintervallet för skillnaden mellan väntevärdena hos två Normalfördelade stickprov där standardavvikelserna är okända och lika och hur man m.h.a.§11.2viktar ihopde två stickprovsvarianserna för att få en skattning s av standardavvikelsen. Efter detta visades det viktiga fallet när man har parvisa observationer-"stickprov i par"- och att konfidensintervallet för väntevärdet av de parvisa skillnaderna då tas fram som om man har ett stickprov av parvisa skillnader.
Visade att om stickproven är så stora så att C.G.S. kan användas, så kan man bilda konfidensintervall med approximativ konfidensgrad för väntevärden och skillnader mellan väntevärden även om observationerna inte kommer från en Normalfördelning. Visade avslutningsvis konfidensintervall med approximativ konfidensgrad för p när X tillhör Bin(n,p),; för py- px när Y tillhör Bin(ny,py) och X tillhör Bin(nx,px) samt för my i Poisson-fördelningen och att det i alla dessa fall förutsätter att Normalapproximation är möjlig enligt §5.

Tis 24 april Började med att repetera begreppen TÄTA,TÄTA* ,TÄTA*obs samt väntevärdesriktighet, effektiv skattning och medelfel. Presenterade därefter Maximum-Likelihood-metoden och räknade exempel 11.10 i läroboken som exempel på denna. Fortsatte med att gå igenom Minsta-kvadrat-metoden. Som exempel visades hur man kunde göra MK-skattningen av arean hos en kvadrat där 2 mätdata var sidans längd, och 1 mätdata var diagonalens längd Tog sedan exempel 11.19 i läroboken som exempel på hur Minsta-kvadrat-skattning går till när två saker ska skattas. Definierade sedan begreppen konfidensintervall och konfidensgrad i allmänna fallet och visade även hur ensidiga konfidensintervall ser ut. Härledde därefter det tvåsidiga konfidensintervallet för väntevärdet när mätdata kommer från en Normalfördelning där standardavvikelsen är känd.

Fre 20 apr Fortsatte med kapitel 10 och gick igenom begreppen grupperade data,absolut och relativ frekvens, klassindelade data,histogram och boxplott.Avslutade kapitel 10 med att visa hur man tar fram kvartiler och percentiler. Började sedan kap 11  med att redogöra för skillnaden mellan det riktiga värdet TÄTA,stickprovsvariabeln TÄTA* och punktskattningenTÄTA*obs. Tog som exempel på skattning hur man brukar skatta väntevärdet my och standardavvikelsen sigma vid okänd fördelning. Tog sedan som  ytterligare exempel på skattningar hur man skattar  p i Binomialfördelningen,Hypergeometriska fördelningen och ffg-fördelningen,my i Poissonfördelningen, lambda i exponentialfördelningen samt my och sigma i Normalfördelningen. Definierade efter detta begreppet  medelfel och tog fram medelfelet för skattningen av väntevärdet my allmänt , medelfelet för skattningen av p i binomialfördelningen och medelfelet för skattningen av parametern my i Poissonfördelningen. Definerade därefter begreppen väntevärdesriktighet och effektivitet och tog ett par enkla exempel på dessa. Definierade även begreppet konsistens.

Mån 16 apr Började med att repetera den viktiga Centrala Gränsvärdessatsen (CGS), som säger att summan av n oberoende likafördelade stokastiska variabler är approximativt normalfördelad om n är stort, och att detta även medför att medelvärdet är approximativt normalfördelat. Avslutade kapitel 6 med att göra Exempel 6.6 som exempel på Centrala Gränsvärdessatsen.   Definierade sedan Hypergeometriska fördelningen och skrev upp dess sannolikhetsfunktion. Definierade sedan Binomialfördelningen och skrev upp dess sannolikhetsfunktion. Talade om att Hyp(N,n,p)~ Bin(n,p) om n/N<0.1. Visade sedan utgående från Bernoullifördelningen att villkoret np(1-p)>10 för Normalapproximation egentligen är ett C.G.S.-villkor. Fortsatte  med att gå igenom halvkorrektion och tog som exempel på detta sannolikheten att få mer än 13 sexor när vi kastar en tärning 60 gånger. Definierade efter detta Poissonfördelningen. Genom att kombinera satsen om att summan av oberoende Poissonfördelade stokastiska variabler är Poissonfördelad med att dela upp intervallet där X är Poissonfördelad i många delintervall visades sedan att  villkoret µ>15  för normalapproximation  egentligen är ett C.G.S.-villkor. Avslutade kap 7 med att berätta om att sannolikhetsdefinitionen för Binomialfördelningen övergår i sannolikhetsfunktionen för Poissonfördelningen om p är litet, vilket motiverar att om p<0.1 så gäller att Bin(n,p)~Po(np). Avslutade med att komma in på  kap 10 och definierade medelvärde, stickprovsvarians, populationsvarians, variationskoefficient, median, kovarians och korrelationskoefficient.


Ons 11 apr Gick först igenom beviset för Markovs olikhet. Använde sedan Markovs olikhet för att bevisa Stora talens lag och Tjebysjevs olikhet. Skrev sedan upp täthetsfunktionen och fördelningsfunktionen för normalfördelningen. Skrev efter det upp täthetsfunktionen och fördelningsfunktionen för standardiserade normalfördelningen N(0,1). Skrev sedan upp att om X är N(E[X],D[X]) så gäller att Y=(X-E[X])/D[X] är N(0,1). Berättade sedan om när och hur man använder Tabell 1 och Tabell 2 i formelsamlingen och vad alfa-kvantilen är. Tog fram P(E[X]-kD[X] < X < E[X]+kD[X]) för k=1,2,3 när X är N(E[X],D[X]) som exempel på hur Tabell 1 används, och skrev sedan även upp sannolikheterna för att ett utfall hamnar minst två respektive tre standardavvikelser ifrån väntevärdet. Avslutade med att ta fram k när P(E[X]-kD[X]<X<E[X]+kD[X])=0.95 som exempel på hur Tabell 2 används och pekade på tabell 2 för att visa vad k ungefär blir när sannolikheterna är 0.99 och 0.999. Skrev sedan upp att varje linjärkombination av oberoende N-fördelade slumpvariabler är normalfördelad. Räknade exempel 6.2a,b som exempel på detta. Gick till sist igenom den viktiga Centrala Gränsvärdessatsen (CGS), som säger att summan av n oberoende likafördelade stokastiska variabler är approximativt normalfördelad om n är stort och att detta även medför att medelvärdet är approximativt normalfördelat.


Tis 10 apr Började med att repetera definitionerna för väntevärde och varians i det diskreta och det kontinuerliga fallet i en dimension. Gick sedan över till två dimensioner och definierade E[g(X,Y)] i det diskreta och det kontinuerliga fallet. Fortsatte med att definiera systematiskt fel och slumpmässigt fel och redogjorde för skillnaden mellan noggrannhet och precision.Gick därefter igenom följande viktiga räkneregler för väntevärden och varianser: E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c V(aX+b)=V(aX)=a²V(X) samt om X och Y är oberoende V(X+Y)=V(X)+V(Y). Definierade sedan begreppet kovarians och visade att V(X)=C(X,X). Definerade sedan begreppet korrelationskoefficient och berättade om dess egenskaper. Visade att om X och Y är oberoende så leder det till att E(XY)=E(X)E(Y) vilket i sin tur leder till att C(X,Y)=0, d.v.s. att X och Y är okorrelerade. Visade sedan att omvändningen inte behöver vara sann genom att göra exempel 5.13 i läroboken. Som övning på att räkna ut en kovarians gjorde jag sedan övningsuppgift 5.18. Gick sedan igenom räkneregler för kovarianser och skrev upp att C(aX+bY,cZ+dW)=acC(X,Z)+adC(X,W)+bcC(Y,Z)+bdC(Y,W) vilket bl.a. leder till den viktiga regeln att V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2C(X,Y) och att V(X+Y)=V(X)+V(Y) om X och Y är oberoende.Avslutade med att ta fram väntevärde och standardavvikelse för medelväret av n st ober stokastiska variabler.


Tis 27 mars Började med att visa hur man tar fram Fördelningsfunktionen för max(X,Y) och min(X,Y) utgående från Fördelningsfunktionerna för X respektive Y. Avslutade kapitel 4 med att som exempel på summa visa att summan av ober Poisonfördelade stok.var. är Poissonfördelad.Började med kapitel 5 och startade med att berätta att väntevärdet är vad man får i genomsnitt om man gör oändligt många försök. T.ex. blir ju det genomsnittliga värdet av ett tärningskast 3.5. Gjorde sedan exempel 5.1 i boken. Skrev sedan upp definitionen för E(X) resp. E(g(X)) i det diskreta fallet och det kontinuerliga fallet. Tog sedan och räknade ut E(X²) i Ex. 5.1 i boken. Definierade därefter variansen för X och standardavvikelsen D(X). Sedan använde jag mig även här av ex 5.1 i boken för att räkna ut variansen m.h.a. definitionen. Härledde sedan ur definitionen formeln V(X)=E(X²)-(E(X))² och räknade ut samma varians m.h.a. denna formel. Gick avslutningsvis igenom följande viktiga räkneregler för väntevärden och varianser: E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c,  V(aX+b)=V(aX)=a²V(X),  samt om X och Y är oberoende: V(X+Y)=V(X)+V(Y). Glömde att definiera variationskoefficienten R(X)=D(X)/E(X).


Mån 26 mar Började med kontinuerliga stokastiska variabler. Definierade täthetsfunktionen och gick igenom hur man ur den får fram Fördelningsfunktionen och vice versa. Gick sedan igenom den likformiga fördelningen och tog som exempel på denna exempel 3.8 och exempel 3.9 i läroboken. Gick därefter igenom exponentialfördelningen.Fortsatte med att visa att tiden mellan två händelser är exponentialfördelad om antalet händelser är Poissonfördelat. Visade även att exponentialfördelningen saknar minne.Berättade att eftersom hela kapitel 6 ägnas åt Normalfördelningen gås den igenom då. Tog sedan exempel 3.14 i läroboken som exempel på en blandad fördelning av diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler. Fortsatte sedan med att gå igenom funktioner av stokastiska variabler. Tog som exempel i det diskreta fallet en kortversion av exempel 3.16 i Blom och som kontinuerliga exempel gjorde jag en kortvariant av exempel 3.21, samt exempel 3.20 och exempel 3.19 i Blom. Avslutade med att gå igenom flerdimensionella diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler. Gick igenom begreppen simultan sannolikhetsfunktion repektive simultan täthetsfunktion och hur man ur dessa får fram den marginella sannolikhetsfunktionen respektive den marginella täthetsfunktionen och hur man vid oberoende även kan gå åt andra hållet. Visade till sist hur man räknar ut sannolikheter i det två-dimensionella diskreta och kontinuerliga fallet.


Fre 24 mar Började med att visa ex 2.20 som en intressant tillämpning av Bayes sats. Inledde sedan kapitel 3 med att gå igenom begreppet stokastisk variabel och definera sannolikhetsfunktionen. Tog som exempel på denna ex 3.1 i läroboken och ritade även upp stolpdiagrammet. Definierade sedan Fördelningsfunktionen och berättade om dess egenskaper. Tog som exempel på denna ex 3.1 i läroboken och ritade även upp den. Gick sedan igenom ett antal viktiga diskreta fördelningar. Började med tvåpunktsfördelningen och då speciellt Bernouillyfördelningen. Fortsatte med den likformiga fördelningen och för-första-gången-fördelningen och den snarlika geometriska fördelningen. Fortsatte med att gå igenom binomialfördelningen, hypergeometriska fördelningen och Poissonfördelningen. Avslutade med att härleda Poissonfördelningen utgående från Binomialfördelningen.


Ons 22 mar Började med att repetera de tre fallen: Dragning med återläggning med hänsyn till ordning, dragning utan återläggning med hänsyn till ordning, dragning utan återläggning utan hänsyn till ordning. Gick därefter igenom sannolikheten att vid n dragningar utan återläggning utan hänsyn till ordning dra k vita kulor från k vita och s svarta kulor. Utvidgade sedan detta till sannolikheten att dra v vita och; s svarta och g gula o.s.v när man har r färger. Fortsatte med att gå igenomsannolikheten att vid n dragningar med återläggning utan hänsyn till ordning dra k vita kulor från k vita och s svarta kulor. Utvidgade sedan även; detta till sannolikheten att dra v vita och; s svarta och g gula o.s.v när man har r färger. Började sedan med betingad sannolikhet. Illustrerade betingningsformeln m.h.a. exemplet på sid 26 i läroboken. Visade lagen om total sannolikhet m.h.a. Venndiagram och tog exempel 2.17 som exempel på denna. Visade även Bayes sats m.h.a. Venndiagram och tog exempel 2.19 som exempel på denna. Visade sedan definitionen för oberoende utgående från betingningsformeln. Avslutade med exempel 2.23 som exempel på oberoende.(Misslyckades till sist att visa ex 2.20 på väggen som en intressant tillämpning av Bayes sats.)



Tis 20 mar Presenterade först kursens hemsida som hittas på http://www.math.kth.se/matstat/gru och visa olika länkar och dess innehåll. Fortsatte sedan med att muntligen ge exempel på olika användningsområden som ämnet matematisk statistik har och denna kurs ger en introduktion till. Började sedan med att gå igenom utfall,utfallsrum,händelser. Gick sedan igenom snitt, union, komplement och visade hur man med hjälp av Venndiagram räknar ut sannolikheter. Definierade i samband med detta disjunkthet.Skrev upp Kolmogorovs axiomsystem.Förklarade därefter skillnaden mellan diskret och kontinuerlig fördelning. Tog övningsuppgift 2.1a och b som exempel på diskreta utfallsrum.Resten av tiden ägnades åt kombinatorik. Började med multiplikationsprincipen och den klassiska sannolikhetsdefinitinen. Gick igenom draging med återläggning med hänsyn till ordning och tog som exempel att antal pinkoder blir 10^4 eftersom antal kombinationer när man drar k ggr från n element blir n^k.Som exempel på dragning utan återläggning med hänsyn till ordning tog jag en förening med 8 medlemmar som skulle välja ordförande,sekreterare och kassör vilket ger 8ggr 7ggr 6 kombinationer .Allmänna fallet n!/(n-k)! kombinationer. Som exempel på dragning utan återläggning utan hänsyn till ordning tog jag antalet pokergivar som ju blir 52 över 5. Allmänt n över k kombinationer.

Laboration 2

De som önskar redovisa Laboration 2 måste boka en redovisningstid senast måndag 14/5 kl 15.00. Tryck på knappen för att boka redovisningstid:

Se till att komma till labsalen minst tio minuter före redovisningstiden så att ni hinner logga in på datorn och öppna Matlab samt ta fram era redovisningsuppgifter. Skriv även upp vilken dator ni sitter vid på whiteboarden i datorsalen, så att labbassistenten lätt hittar er när redovisningstiden börjar.

Ni behöver också ha med er en utskrift av labspecifikationen som ni har skrivit era personnummer på förstasidan på. Denna utskrift undertecknar labassistenten efter att han eller hon har godkänt labben och utskriften fungerar sedan som ert kvitto på resultatet.
Sidansvarig: Björn-Olof Skytt
Skapad: 2018-04-26