KTH Mathematik


Matematisk statistik
SF1923/SF1924 Sannolikhetsteori och statistik för Medicinsk Teknik/Datateknik.

                                           Aktuell information. 

              Här ges fortlöpande information om schemaändringar, vad som gåtts igenom på föreläsningar etc.
Alla administrativa frågor sköts av matematiks studentexpedition.


                                                   Anmälningstider till augustiperioden

Enligt KTH beslutet (V-2020-0376) förkortades anmälningsperioden för augustitentamina 2020.

Omtentaperiod 2020-08-10 till 2020-08-22

Ny anmälningstid: torsdag 2020-06-25 och söndag 2020-07-19 kl 23:59.

Enbart studenter som har registrerat sig före deadline kommer tillåtas tentera, inga sena anmälningar tas emot.

Plussning är inte tillåtet under period 4, detta gäller även omtentaperioden i augusti. 

_________________________________________________________________________________



According to the president’s decision (V-2020-0376) the period for the application for examination in August has been shortened:

RE-exam period 4 August 10 – 22, 2020:

Registration opens Thursday, June 25 and closes Sunday, July 19 11:59pm.

Only those students who have registered before the deadline will be allowed to do an exam. No further applications after the deadline will be accepted

Raising grades (”plussning” in Swedish) will not be permitted during the rest of the spring semester. This includes the re-exam period in August. 

               


Kontrollskrivningen omfattar kap 2-5. Tillåtet hjälpmedel:miniräknare.


Chattlänk


Här är länken till den "chatt-kanal" som assistenterna har skapat för kursen nu, där kan studenterna gå in och ställa frågor till dem. Assistenterna är ganska säkra på att de flesta av er vet vad slack är för någonting, så om jag bara mailar ut länken och ber er gå med där så kommer ni förstå meddelar assistenterna.

                                              Här är länken till chattforum



 


Ons 6 maj  Började med att berätta när test av given fördelning används och tog som inledande exempel på detta uppgift 15 på junitentan 2019. Gav sedan en kortfattad bakgrund till att det som benämns Q i §14.3 i Formelsamlingen kan anses vara approximativt Chi-2fördelad Resten av första timmen och en tredjedel av andra timmen ägnades sedan helt åt att grundligt gå igenom exempel 13.18 i läroboken som exempel på test av given fördelning där man dels måste skatta minst en parameter ur data (i detta fall ?) för att skatta p1,p2,.. pr, dels slå ihop grupper för att villkoret npi?5 skall gälla för alla i. Berättade sedan om när homogenitetstest används och tog som exempel på detta uppgift 5 på augustitentan 2018. Berättade efter detta att man vid oberoendetest kan använda sig av identiskt samma numerik som man gör vid homogenitetstest. Visade uppgift 5 på januaritentan 2017 som exempel på detta.Föreläsning15

Mån 4 maj  Började med exempel 13.8  och gjorde nu hypotesprövning i fallet ensidigt test, dels med kofidensintervallmetoden dels med testvariabelmetoden. Detta gjordes med olika värden på risknivån och m.h.a. detta visades också i vilket intervall p-värdet måste ligga. Gjorde sedan övningsuppgift 13.21a för att visa hur man tar fram styrkan hos ett test när man har använt sig av konfidensintervallmetoden. Utifrån detta visades även hur man tar fram styrkefunktionen - i detta fall h(?) där ? =?x-?y. Gick sedan igenom linjär regression och visade att parametrarna ? och ? skattas med Minsta-kvadrat-metoden. Fortsatte med att visa hur man i multipel regression m.h.a. nollhypotesen H0 :?i =0 kan avgöra om man ska kasta respektive oberoende variabel xi eller ej. Gjorde övningsuppgift 14.7a som exempel på detta. Avslutade med att skissa några exempel där man med hjälp av residualanalys kan avgöra huruvida det är troligt att y beror linjärt av x.Föreläsning14


Ons 29 april  Inledde med att skriva upp en lista på viktiga definitioner och begrepp som används inom hypotesprövning, såsom nollhypotes,mothypotes, risknivå, p-värde,styrkefunktion och styrka.Gick därefter igenom exempel 13.1 i läroboken som exempel på ett fall där man inte använder konfidensintervall för att testa sin nollhypotes.Fortsatte därefter med exempel 13.4 i läroboken, där man tar fram styrkan hos testet i exempel 13.1 för alternativet p=0.9, och tog även fram styrkefunktionen h(p) i detta fall.Började sedan med exempel 13.8 och gjorde hypotesprövning i fallet tvåsidigt test, dels med konfidensintervallmetoden dels med testvariabelmetoden. Detta gjordes med olika värden på risknivån ? och m.h.a. detta visades också i vilket intervall p-värdet måste ligga.Föreläsning13


Mån 27 april Visade att om stickproven är så stora så att C.G.S. kan användas, så kan man bilda konfidensintervall med approximativ konfidensgrad för väntevärden och skillnader mellan väntevärden även om observationerna inte kommer från en Normalfördelning. Visade sedan konfidensintervall med approximativ konfidensgrad för p när X tillhör Bin(n,p),; för py- px när Y tillhör Bin(ny,py) och X tillhör Bin(nx,px) samt för my i Poisson-fördelningen och att det i alla dessa fall förutsätter att Normalapproximation är möjlig enligt §5.
Fortsatte med att härleda konfidensintervallet för standardavvikelsen och för variansen utgående från att summan av kvadrerade N(0,1)-variabler tillhör CHI2-fördelningen. Avslutade med att berätta lite om felfortplantning och härledde felfortplantningsformlerna i § 9.4a m.h.a. Taylorutveckling. Räknade övningsuppgift 11.13b som exempel på detta.Föreläsning12

Ons 22 april Började med att repetera härledningen av det tvåsidiga konfidensintervallet för väntevärdet när mätdata kommer från en Normalfördelning där standardavvikelsen är känd. Visade sedan utgående från det första konfidensintervallet hur det tvåsidiga konfidensintervallet för väntevärdet ser ut när mätdata kommer från en Normalfördelning där standardavvikelsen är okänd. Därefter visades konfidensintervallet för skillnaden mellan väntevärdena hos två Normalfördelade stickprov där standardavvikelserna är kända. Sedan visades hur man bildar ett konfidensintervall med approximativ konfidensgrad för skillnaden mellan väntevärdena hos två Normalfördelade stickprov där standardavvikelserna är okända och olika. Därefter visades konfidensintervallet för skillnaden mellan väntevärdena hos två Normalfördelade stickprov där standardavvikelserna är okända och lika och hur man m.h.a.§11.2 viktar ihop de två stickprovsvarianserna för att få en skattning s av standardavvikelsen. Efter detta visades det viktiga fallet när man har parvisa observationer-"stickprov i par"- och att konfidensintervallet för väntevärdet av de parvisa skillnaderna då tas fram som om man har ett stickprov av parvisa skillnader.Avslutade med två gamla tentatal-junitentan 2019 och augustitentan 2019- som exempel på skillnad mellan två stickprovs väntevärden repektive stickprov i par.Föreläsning11

Mån 20 april Började med att repetera begreppen TÄTA,TÄTA* ,TÄTA*obs. Fortsatte med att gå igenom Minsta-kvadrat-metoden. Som exempel visades hur man kunde göra MK-skattningen av arean hos en kvadrat där två mätdata var sidans längd, och ett mätdata var diagonalens längd Tog sedan exempel 11.19 i läroboken som exempel på hur Minsta-kvadrat-skattning går till när två saker ska skattas. Definerade därefter begreppen väntevärdesriktighet och effektivitet och tog ett par enkla exempel på dessa. Definierade efter detta begreppet medelfel och tog ett par enkla exempel på detta. Definierade sedan begreppen konfidensintervall och konfidensgrad i allmänna fallet. Härledde därefter det tvåsidiga konfidensintervallet för väntevärdet när mätdata kommer från en Normalfördelning där standardavvikelsen är känd, och visade då även hur man får fram samma konfidensintervall genom att använda § 12.1 i Formelsamlingen. Visade avslutningsvis hur man enkelt får fram de ensidiga konfidensintervallen när man har fått fram det tvåsidiga. Föreläsning10


Tor 9 apr Började med kapitel 10 och definierade medelvärde, stickprovsvarians, populationsvarians, variationskoefficient, median, kovarians och korrelationskoefficient, begreppen grupperade data, absolut och relativ frekvens, klassindelade data, histogram och boxplott. Avslutade kapitel 10 med att visa hur man tar fram kvartiler och percentiler. Började sedan kap 11  med att redogöra för skillnaden mellan det riktiga värdet TÄTA, stickprovsvariabeln TÄTA* och punktskattningen TÄTA*obs. Tog som exempel på skattning hur man brukar skatta väntevärdet my och standardavvikelsen sigma vid okänd fördelning. Tog sedan som  ytterligare exempel på skattningar hur man skattar  p i Binomialfördelningen,Hypergeometriska fördelningen och ffg-fördelningen,my i Poissonfördelningen, lambda i exponentialfördelningen samt my och sigma i Normalfördelningen. Definierade därefter begreppet konsistent skattning. Presenterade avslutningsvis Maximum-Likelihood-metoden och räknade exempel 11.10 i läroboken som exempel på denna. Föreläsning9


Mån 6 apr Började med Hypergeometriska fördelningen och skrev upp dess sannolikhetsfunktion. Definierade sedan Binomialfördelningen och skrev upp dess sannolikhetsfunktion. Talade om att Hyp(N,n,p)~ Bin(n,p) om n/N<0.1. Visade sedan utgående från Bernoullifördelningen att villkoret np(1-p)>10 för Normalapproximation egentligen är ett C.G.S.-villkor. Gick sedan igenom begreppet halvkorrektion. Gjorde sedan uppgift 2 på tentan som gick 14 aug 2017 som exempel på Centrala Gränsvärdessatsen. Passade på att i samband med denna uppgift gå igenom halvkorrektion. Definierade efter detta Poissonfördelningen. Genom att kombinera satsen om att summan av oberoende Poissonfördelade stokastiska variabler är Poissonfördelad med att dela upp intervallet där X är Poissonfördelad i många delintervall visades sedan att  villkoret µ>15  för normalapproximation  egentligen är ett C.G.S.-villkor. Avslutade kap 7 med att härleda hur sannolikhetsdefinitionen för Binomialfördelningen övergår i sannolikhetsfunktionen för Poissonfördelningen om p är litet, vilket motiverar att om p<0.1 så gäller att Bin(n,p)~Po(np). Föreläsning8


Tor 2 apr Började med att skriva upp att uppmätt värde = korrekt värde+ systematiskt fel+ slumpmässigt fel, och att dålig noggrannhet är det samma som stort systematiskt fel medan dålig precision är det samma som stort slumpmässigt fel. Gick sedan igenom beviset för Markovs olikhet. Använde sedan Markovs olikhet för att bevisa Stora talens lag och Tjebysjevs olikhet. Skrev sedan upp täthetsfunktionen och fördelningsfunktionen för normalfördelningen. Skrev efter det upp täthetsfunktionen och fördelningsfunktionen för standardiserade normalfördelningen N(0,1). Skrev sedan upp att om X är N(E[X],D[X]) så gäller att Y=(X-E[X])/D[X] är N(0,1). Skrev även upp att varje linjärkombination av oberoende N-fördelade stokastiska variabler är normalfördelad. Berättade sedan om när och hur man använder Tabell 1 och Tabell 2 i formelsamlingen och vad alfa-kvantilen är. Tog fram P(E[X]-kD[X] < X < E[X]+kD[X]) för k=1,2,3 när X är N(E[X],D[X]) som exempel på hur Tabell 1 används, och skrev sedan även upp sannolikheterna för att ett utfall hamnar minst två respektive tre standardavvikelser ifrån väntevärdet. Avslutade med att ta fram k när P(E[X]-kD[X]<X<E[X]+kD[X])=0.95 som exempel på hur Tabell 2 används och pekade på tabell 2 för att visa vad k ungefär blir när sannolikheterna är 0.99 och 0.999.Räknade exempel 6.2a,b. Gick sen igenom den viktiga Centrala Gränsvärdessatsen (CGS), som säger att summan av n oberoende likafördelade stokastiska variabler är approximativt normalfördelad om n är stort och att detta även medför att medelvärdet är approximativt normalfördelat. Avslutade med att göra exempel 6.6 som exempel på C.G.S. Föreläsning7


Tis 31 mars Började med att repetera definitionerna för väntevärde och varians i det diskreta och det kontinuerliga fallet i en dimension. Gick sedan över till två dimensioner och definierade E[g(X,Y)] i det diskreta och det kontinuerliga fallet. Definierade sedan begreppet kovarians och visade att V(X)=C(X,X). Definerade sedan begreppet korrelationskoefficient och berättade om dess egenskaper. Visade att om X och Y är oberoende så leder det till att E(XY)=E(X)E(Y) vilket i sin tur leder till att C(X,Y)=0, d.v.s. att X och Y är okorrelerade. Visade sedan att omvändningen inte behöver vara sann genom att göra exempel 5.13 i läroboken. Som övning på att räkna ut en kovarians gjorde jag sedan övningsuppgift 5.18. Gick sedan igenom räkneregler för kovarianser och skrev upp att C(aX+bY,cZ+dW)=acC(X,Z)+adC(X,W)+bcC(Y,Z)+bdC(Y,W) vilket bl.a. leder till den viktiga regeln att V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2C(X,Y) och att V(X+Y)=V(X)+V(Y) om X och Y är oberoende. Gick därefter igenom följande viktiga räkneregler för väntevärden och varianser: E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c V(aX+b)=V(aX)=a²V(X) samt om X och Y är oberoende V(X+Y)=V(X)+V(Y). Fortsatte med att ta fram väntevärde och standardavvikelse för medelväret av n st ober stokastiska variabler. Avslutade med att skriva upp Stora talens lag.Föreläsning6


Ons 25 mars Började med att gå igenom flerdimensionella diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler. Gick igenom begreppen simultan sannolikhetsfunktion repektive simultan täthetsfunktion och hur man ur dessa får fram den marginella sannolikhetsfunktionen respektive den marginella täthetsfunktionen och hur man vid oberoende även kan gå åt andra hållet. Visade sedan hur man räknar ut sannolikheter i det två-dimensionella diskreta och kontinuerliga fallet. Fortsatte med att visa hur man tar fram Fördelningsfunktionen för max(X,Y) och min(X,Y) utgående från Fördelningsfunktionerna för X respektive Y. Avslutade kapitel 4 med att som exempel på summa visa att summan av ober Poisonfördelade stok.var. är Poissonfördelad.Började med kapitel 5 och startade med att berätta att väntevärdet är vad man får i genomsnitt om man gör oändligt många försök. T.ex. blir ju det genomsnittliga värdet av ett tärningskast 3.5. Gjorde sedan exempel 5.1 i boken. Skrev sedan upp definitionen för E(X) resp. E(g(X)) i det diskreta fallet och det kontinuerliga fallet. Tog sedan och räknade ut E(X²) i Ex. 5.1 i boken. Definierade därefter variansen V(X) och standardavvikelsen D(X). Definierade även variationskoefficienten R(X)=D(X)/E(X), och medianen xtilde som definieras av att P(X<xtilde)=0.5. Sedan använde jag mig även här av ex 5.1 i boken för att räkna ut variansen m.h.a. definitionen. Härledde sedan ur definitionen formeln V(X)=E(X²)-(E(X))² och räknade ut samma varians m.h.a. denna formel. Gick avslutningsvis igenom följande viktiga räkneregler för väntevärden och varianser: E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c,  V(aX+b)=V(aX)=a²V(X),  samt om X och Y är oberoende: V(X+Y)=V(X)+V(Y). Föreläsning5


Mån 23 mar Började med kontinuerliga stokastiska variabler. Definierade täthetsfunktionen och gick igenom hur man ur den får fram Fördelningsfunktionen och vice versa. Gick sedan igenom den likformiga fördelningen och tog som exempel på denna exempel 3.8 och exempel 3.9 i läroboken. Gick därefter igenom exponentialfördelningen.Fortsatte med att visa att tiden mellan två händelser är exponentialfördelad om antalet händelser är Poissonfördelat. Visade även att exponentialfördelningen saknar minne.Berättade att eftersom hela kapitel 6 ägnas åt Normalfördelningen gås den igenom då. Tog sedan exempel 3.14 i läroboken som exempel på en blandad fördelning av diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler. Fortsatte sedan med att gå igenom funktioner av stokastiska variabler. Tog som exempel i det diskreta fallet exempel 3.16 i Blom och som kontinuerligt exempel gjorde jag exempel 3.19 i Blom.Föreläsning4
 
Tor 19 mar  Inledde kapitel 3 med att gå igenom begreppet stokastisk variabel och definera sannolikhetsfunktionen. Tog som exempel på denna ex 3.1 i läroboken och ritade även upp stolpdiagrammet. Definierade sedan Fördelningsfunktionen och berättade om dess egenskaper. Tog som exempel på denna ex 3.1 i läroboken och ritade även upp den. Gick sedan igenom ett antal viktiga diskreta fördelningar. Började med tvåpunktsfördelningen och då speciellt Bernouillifördelningen. Fortsatte med den likformiga fördelningen och för-första-gången-fördelningen och den snarlika geometriska fördelningen. Avslutade med att gå igenom binomialfördelningen, hypergeometriska fördelningen och Poissonfördelningen.Föreläsning3

Tis 17 mars Började med att repetera de tre fallen: Dragning med återläggning med hänsyn till ordning, dragning utan återläggning med hänsyn till ordning, och dragning utan återläggning utan hänsyn till ordning. Gick därefter igenom sannolikheten att vid n dragningar utan återläggning utan hänsyn till ordning dra k vita kulor från v vita och s svarta kulor. Utvidgade sedan detta till sannolikheten att dra v vita och; s svarta och g gula o.s.v när man har r färger. Började sedan med betingad sannolikhet. Illustrerade betingningsformeln m.h.a. exemplet på sid 26 i läroboken. Visade lagen om total sannolikhet m.h.a. Venndiagram och tog exempel 2.17 som exempel på denna. Visade även Bayes sats m.h.a. Venndiagram och tog exempel 2.19 som exempel på denna. Fortsatte sedan med att räkna igenom ex 2.20 som en intressant tillämpning av Bayes sats Visade sedan definitionen för oberoende utgående från betingningsformeln. Avslutade med exempel 2.23 som exempel på oberoende.Föreläsning2

Mån 16 mar Började med att ge exempel på olika användningsområden som ämnet matematisk statistik har och denna kurs ger en introduktion till.Presenterade sedan kursens hemsida som hittas som startsida på canvas och på  http://www.math.kth.se/matstat/gru och visa olika länkar och dess innehåll. Började sedan med att gå igenom utfall,utfallsrum,händelser. Gick sedan igenom snitt, union, komplement och visade hur man med hjälp av Venndiagram räknar ut sannolikheter. Definierade i samband med detta disjunkthet. Förklarade därefter skillnaden mellan diskreta och kontinuerliga utfallsrum. Tog övningsuppgift 2.1a och b som exempel på diskreta utfallsrum.Resten av tiden ägnades åt kombinatorik. Började med multiplikationsprincipen och den klassiska sannolikhetsdefinitinen. Gick igenom draging med återläggning med hänsyn till ordning och tog som exempel att antal pinkoder blir 10^4 eftersom antal kombinationer när man drar k ggr från n element blir n^k.Som exempel på dragning utan återläggning med hänsyn till ordning tog jag en förening med 8 medlemmar som skulle välja ordförande,sekreterare och kassör vilket ger 8ggr 7ggr 6 kombinationer. Allmänna fallet n!/(n-k)! kombinationer. Gick sedan igenom fallet dragning utan återläggning utan hänsyn till ordning.Tog som exempel hur många pokergivar det finns. 52!/(5!ggr47!). D.v.s. 52 över 5 gånger. I allmänna fallet har vi n över k kombinationer. Föreläsning1



                                              

Sidansvarig: Björn-Olof Skytt
Skapad: 2020-02-20