Inst. för Matematik    |   KTH    |


Studiehandbok Kurshuvudsida Löpande Kurs-PM Schema
Föreläsningsplan Rekommenderade uppgifter Matematikjour Tentamensanmälan

SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner, 2007/2008.

SF1649, Vector Analysis and Complex Functions, 2007/2008.

7.5 poäng


Kursinformation

Kursansvarig

Håkan Hedenmalm, 08-790 7832, haakanh@math.kth.se

Kursstart

Tisdagen den 25 mars 2008 kl 10.15 i sal L1.

Kursuppläggning

Föreläsningar 50 h, Räkneövningar 25 h.

Förkunskaper

Kurserna SF1624 Algebra och Geometri, SF1625 Envariabelanalys, samt SF1626 Flervariabelanalys, eller motsvarande.

Kurslitteratur

O. Brander: Vektoranalys. Studentlitteratur.
O. Stormark: Komplexa funktioner. Kompendium med tillhörande exempelsamling.

Kursinnehåll

Vektoranalys. Skalär-, vektor- och tensorfält, begreppen gradient, divergens, rotation samt nablaoperatorn. Kurvintegraler, ytintegraler, Gauss och Stokes satser, nablaräkning, kroklinjiga koordinatsystem, potentialteori samt tillämpningar inom matematisk fysik.
Komplexa funktioner. Komplexa tal, speglingar, Riemannsfären, analytiska och harmoniska funktioner, derivator och Cauchy-Riemanns ekvationer, exponentialfunktionen, logaritmfunktionen, trigonometriska funktioner och deras inverser, flertydiga funktioner, konforma avbildningar, Möbiustransformationer, Laplaces ekvation och randvärdesproblem.

Kursmål

Efter fullgjord kurs skall studenten kunna:

    Vektoranalys

  • skilja på olika sorts fält inom matematisk fysik: skalärfält, vektorfält och tensorfält.
  • redogöra för begreppen divergens, rotation och gradient, kunna beräkna divergensen och rotationen av vektorfält samt gradienten av skalärfält.
  • förenkla och omforma vektoranalytiska uttryck med hjälp av nablakalkyl.
  • beräkna flödesintegraler över (i allmänhet krökta) ytor i rummet, givna i parameter- eller ekvationsform.
  • redogöra för Gauss sats och kunna använda den vid beräkning av flödesintegraler.
  • beräkna linjeinegraler i rummet och kunna avgöra när de är oberoende av integrationsvägen.
  • redogöra för Stokes sats och kunna använda den i samband med beräkning av linje- och flödesintegraler.
  • avgöra när ett vektorfält har en skalär potential och kunna bestämma den när den finns.
  • avgöra när ett vektorfält har en vektorpotential och att i enklare fall kunna bestämma en sådan.
  • genomföra vektoranalytiska beräkningar av ovanstående slag inte bara i kartesiska koordinater utan även i ortogonala kroklinjiga koordinater (särskilt cylinder- och sfäriska koordinater).
  • redogöra för hur Laplaces och Poissons ekvationer uppkommer inom matematisk fysik och kunna lösa dem i enkla fall.

    Komplexa funktioner

  • kunna räkna obehindrat med de komplexa talen i kartesisk och polär framställning, kunna tolka relationer mellan komplexa tal geometriskt i enkla fall, kunna bestämma spegelpunkter med avseende på räta linjer och cirklar.
  • veta vad som menas med en analytisk funktion och kunna avgöra om en given funktion är analytisk eller ej, t. ex. genom att kontrollera Cauchy-Riemanns ekvationer. Veta vad som menas med en konform avbildning.
  • veta vad som menas med en harmonisk funktion och kunna, till en given harmonisk funktion, bestämma en harmoniskt konjugerad funktion.
  • kunna redogöra för de elementära analytiska funktionerna, t. ex. kunna definiera dem, beräkna derivator av dem, utreda eventuella mångtydigheter och bestämma naturliga definitionsområden.
  • veta vad som menas med en Möbiustransformation och kunna avgöra hur en given Möbiustransformation avbildar ett givet cirkelområde eller halvplan; och omvänt, givet två sådana områden kunna bestämma en Möbiustransformation som avbildar det ena på det andra.
  • i enkla fall kunna avgöra även hur andra elementära funktioner avbildar olika områden och, omvänt, kunna bestämma en analytisk funktion som utför en given konform avbildning.
  • kunna lösa vissa randvärdesproblem för Laplaces ekvation genom konform avbildning på områden (t. ex. halvplan eller cirkelskiva) för vilka explicita lösningsmetoder finns tillgängliga.

Examination

    Bedömningsgrunderna för kursen består av två delar:

    Del 1: den obligatorisk del som är uppdelad i 5 moduler, vilken avgör om studenten är godkänd på kursen, samt
    Del 2: vilken avläggs på skriftlig tentamen för erhållande av överbetyg.

    Den obligatoriska delen kan fullgöras antingen genom examination via kontrollskrivningar (och inlämningsuppgift), eller lösande av motsvarande uppgifter på skriftlig tentamen. Härvidlag krävs godkänt bedömning på 4 av 5 moduler. Uppfyllande av detta kriterium ger betyget D. För högre betyg krävs deltagande i skriftlig tentamen. Vid något svagare resultat på kontrollskrivningarna kan även betyget E förekomma.

    Resultatlistor

    Resultatlistor kommer ej att sättas upp, av hänsyn till de deltagande studenternas integritet.

    Tillåtna hjälpmedel

    Vid kontrollskrivning och tentamensskrivning tillåts studenterna nyttja formelsamlingen BETA. Däremot är miniräknare ej tillåtna.

    Kontrollskrivningar och moduler

    Under kursens gång ges 2 kontrollskrivningar, vilka testar 5 olika moment, kallade moduler. För betyg 3 räcker det att ha erhållit godkänt betyg på 4 av 5 moduler. För högre betyg krävs deltagande i tentamen. Detsamma gäller för dem som ej erhållit godkänt betyg på 4 av 5 moduler; dock räcker det därvid att komplettera med de moduler som saknas för erhållande av betyg 3. Kontrollskrivningarna äger preliminärt rum  enligt nedanstående:

    KS1: (Moduler 1 och 2) XX april 2008.

    Inlämningsuppgift (Modul 3):

    KS2: (Moduler 4 och 5) XX maj 2008.

    Tentamen

    (del 1 och 2) den 26 maj kl 08.00--13.00 i salar E36, E51, E352, och E53.
    Datum för en kompletteringstentamen kommer att fastställas för de studenter som efter ordinarie tentamen blivit godkända på 3 moduler. Denna kompletteringstentamen omfattar enbart del 1 (vad som krävs för godkänt betyg).
    För att få veta i vilken lokal en tentamen går, gå till institutionens hemsida, och tryck på knappen "Tentamina".

    Modulsystemet

    Kursen är indelad i fem moduler.
    På var och en av dessa ges möjlighet att redovisa sina kunskaper medelst lappskrivningar respektive inlämningsuppgifter.

    Modul 1: Fält; skalära, vektor-, och tensor-. Gradient, divergens, rotation. Nablakalkyl.
    Modul 2: Gauss och Stokes satser. Konservativa fält, skalär potential. Vektorpotential. Kroklinjiga koordinater.
    Modul 3: Partiella differentialekvationer från matematisk fysik. Laplaces och Poissons ekvationer.
    Modul 4: Analytiska och harmoniska funktioner. Cauchy-Riemanns ekvationer. Harmoniskt konjugat. Elementära analytiska funktioner. Definitionsområden, mångtydighet.
    Modul 5: Konforma avbildningar, Möbiusavbildningar. Lösa Laplaces ekvation med hjälp av konform avbildning.

    Modulerna 1--2, 4--5 redovisas medelst kontroll-skrivningar.
    Modul 3 redovisas genom en inlämningsuppgift, vilken redovisas skriftligt och muntligt i grupper om tre deltagare.

Omtentamina

Efter kompletteringstentamen kommer som brukligt ordinarie omtentamina att ges vid vissa bestämda datum under året. Dessa är ej modulbaserade, vilket innebär att man måste visa sina kunskaper inom alla områden av kursen, och att man behandlas på samma sätt som övriga omtentander från tidigare årskurser. BONUSPOÄNG från kursen ges EJ.


Räkneövningarna leds av:

Grupp Övningsassistenter Telefon
E1:1 Claes Trygger 790 7419
E1:2  Christopher Svedberg 790 6616





Avdelning Matematik Sidansvarig: Håkan Hedenmalm
Uppdaterad: 2008-04-08