Måndagen den 2a September 2013 kl 13.15 i sal Q1.
Föreläsningar 60 h, Räkneövningar 30 h.
A. Persson, L.-C. Böiers: Analys i en variabel.
Studentlitteratur. Tillhörande övningsbok.
Efter fullgjord kurs skall studenten kunna: [After completing
the course the student should be able to:]
Funktioner av en variabel:
differentialkalkyl [Functions of one variable: differential
calculus]
förstå funktionsbegreppet,
inklusive definitions- och värdemängd, samt sammansatta och
inversa funktioner. [understand the concept of a function,
including the set of definition and the range, as well as
composite and inverse functions.]
behärska följande elementära
funktioner: polynom, rationella funktioner, potensfunktioner,
exponential- och logaritmfunktioner, trigonometriska funktioner
samt deras inverser. Kunna deras derivator inklusive härledning.
[master the following elementary functions: polynomials,
rational functions, power function, exponentials and logarithms,
trigonometric functions and their inverses. Know their
derivatives and how to derive those derivatives.]
förstå begreppet gränsvärde
samt kunna arbeta med gränsvärden med hjälp av s k
standardgränsvärden, Taylors formel samt l'Hospitals regel.
[understand the concept of limit and be able to work with limits
using so-called standard limits, Taylor's formula and
l'Hospital's rule.]
härleda de allmänna
deriveringsreglerna och tillämpa dem, främst på elementära
funktioner. [derive the general rules of differentiation and
apply those rules to elementary functions.]
redogöra för derivatans och
andraderivatans geometriska tolkning. [account for the geometric
interpretation of the derivative and the second derivative.]
redogöra för och kunna
tillämpa medelvärdessatsen, samt dess konsekvenser för att
bestämma var en funktion växer respektive avtar. [account for
and be able to apply the mean value theorem of differential
calculus, and its consequences for deciding where a function
increases and decreases.]
avgöra om givna enkla
funktioner är kontinuerliga respektive deriverbara. [decide
whether given simple functions are continuous/differentiable.]
redogöra för satserna om
mellanliggande värden och om existens av största och minsta
värden för kontinuerliga funktioner på slutna begränsade
intervall. [account for the intermediate value theorem and the
theorem on existence of max and min of continuous functions on
closed bounded intervals.]
karakterisera lokala och globala extrempunkter med hjälp
av derivatan, genomföra en kurvundersökning, samt härleda
olikheter. [characterize local and global extreme points using
derivatives, investigate curves, and derive inequalities.]
Funktioner av en variabel: integralkalkyl
[Functions of one variable: integral calculus]
bestämma primitiva funktioner
till enklare elementära funktioner med hjälp av de allmänna
metoderna för detta, bland annat substitution och partiell
integration. [find primitive functions to elementary functions
using general techniques such as change of variables and
integration by parts.]
vara förtrogen med begreppet
Riemannsumma, samt definitionen av bestämda integraler som
gränsvärden av Riemannsummor. [understand the concept of a
Riemann sum, and the definition of definite of the definite
integral based on Riemann sums.]
formulera integralkalkylens
huvudsats samt beskriva hur den används för att beräkna
integraler med hjälp av primitiva funktioner. [formulate the
main theorem of integral calculus and describe how it is used to
calculate definite integrals with primitive functions.]
förstå begreppet
generaliserad Riemannintegral, samt kunna avgöra om den är
konvergent eller divergent. Motsvarande för serier. [understand
the concept of a generalized Riemann integral, and be able to
decide whether it converges or diverges.]
använda integraler för att
härleda formler för kurvlängd, areor och volymer, samt kunna
använda formlerna. [use integrals to derive formulas for curve
length, areas, and volumes, and be able to apply these
formulas.]
lösa andra ordningens linjära
differentialekvationer med konstanta koefficienter, inklusive
begynnelseproblem och andra liknande problem, samt behärska
bestärska bestämning av partikulärlösning i enklare fall.
[solve second order linear differential equations with constant
coefficients, including initial value problems and other similar
problems, and master the technique of finding particular
solutions in simple cases.]
formulera Taylors formel och bestämma Taylorpolynom samt
restterm i enklare fall. Även vissa standardutvecklingar
(Taylorserier) med angivande av konvergensområde: geometrisk
serie, exponentialfunktionen, sinus och cosinus. [formulate
Taylor's formula and determine the Taylor polynomial with
remainder in simple cases. Also certain standard expansions
(Taylor series) with known interval of convergence: geometric
series, the exponential function, sine and cosine.]
Funktioner av en variabel: krav för
överbetyg (A, B, C) [Functions of one variable: requirements
for grades A, B, C]
För högre betyg skall
studenten också kunna: [To get the higher grades A, B, C, the
student should be able to:]
lösa svårare mer sammansatta
problem samt visa större insikt i teorin och begreppen, främst
avseende teorin om kontinuerliga funktioner. [solve more
difficult composite problems and show greater insight into the
theory and the concepts, especially concerning the theory of
continuous functions.]
definiera gränsvärde och
kontinuitet och bevisa att givna funktioner är kontinuerliga.
Även formulera axiomet om övre gräns och kunna använda det
för att visa existens av gränsvärden. [define limits and
continuity and show that given functions are continuous. Also
formulate the axiom on the existence of the least upper bound
and be able to apply it to obtain the existence of a limit.]
skissera bevis för
medelvärdessatserna och fundamentalsatsen samt deras
konsekvenser. Använda dem i problem, t ex rörande funktioners
och deras derivators nollställen/värdemängder. [sketch proofs
of the mean value theorem and the fundamental theorem and of
corollaries to these. Apply these theorems in problems, e. g.
concerning functions to get zeros of the derivative/the range.]
lösa linjära
differentialekvationer med konstanta koefficienter av högre
ordning. [solve linear differential equations of higher order
with constant coefficients.]
manipulera integraler och
serier. Uppskatta integraler och serier för att avgöra
konvergens. [manipulate integrals and series. Estimate integrals
and series to decide about convergence.]
definiera och handskas med potensserier och kunna avgöra
var de konvergerar. Härleda potensserier från allmänna
egenskaper om serier. [define and handle power series to
determine the domain of convergence. Derive power series from
general properties of series.]
Bedömningsgrunderna för kursen består av två delar:
Del
1: den obligatorisk del som är uppdelad i 6 moduler,
vilken avgör om studenten är godkänd (betyg D eller E)
på kursen, samt
Del 2: vilken avläggs på skriftlig
tentamen för erhållande av överbetyg (betyg A, B, C).
Den obligatoriska delen kan fullgöras antingen genom
examination via kontrollskrivningar (och inlämningsuppgift),
eller lösande av motsvarande uppgifter på skriftlig tentamen.
Härvidlag krävs godkänt bedömning på 5 av 6 moduler, vilket
ger betyg D. Ifall detta krav nästan uppnåtts, kan studenten
komma ifråga för betyget E (motsvarar 4 av 6 moduler).
Normalbetyget för godkänt skall vara D. För högre betyg (A,
B, C) krävs dels 5 av 6 godkända moduler, dels deltagande i
skriftlig tentamen.
Resultatlistor kommer ej att sättas upp, av hänsyn till de
deltagande studenternas integritet.
Vid kontrollskrivningar tillåts studenterna nyttja
formelsamlingen BETA. Vid tentamensskrivning är BETA ej
tillåten. Miniräknare ej tillåts ej.
Kontrollskrivningar och moduler
Under kursens gång ges 3 kontrollskrivningar, vilka testar 4
olika moment, kallade moduler; dessutom har vi två
inlämningsuppgifter omfattande ytterligare två moduler. För
betyg D räcker det att ha erhållit godkänt betyg på 5 av 6
moduler. För betyg E räcker det att vara godkänd på 4 av 6
moduler. För högre betyg krävs deltagande i tentamen.
För den som vid tentamen ej uppfyllt kravet för betyg D (5 av
6 godkända moduler) ges en kompletteringtentamen i januari
2012. Kontrollskrivningarna äger preliminärt rum
enligt nedanstående:
KS1: (Modul 1) 27 September
2013.
KS2: (Modul 3) 6 November 2013.
KS3:
(Moduler 4 och 5) 11 December 2013.
Inlämningsuppgifter
Moduler 2 och 6
(del 1 och 2) den 13 Januari kl 14.00--19.00.
Datum för
en kompletteringstentamen kommer att fastställas för de
studenter som efter ordinarie tentamen blivit godkända på 3
moduler. Denna kompletteringstentamen omfattar enbart del 1 (vad
som krävs för godkänt betyg). Preliminärt datum: XX januari
2013.
För att få veta i vilken lokal en tentamen går, gå
till institutionens hemsida, och tryck på knappen "Tentamina".
Kursen är indelad i sex moduler.
På var och en av dessa
ges möjlighet att redovisa sina kunskaper medelst
kontrollskrivningar respektive inlämningsuppgifter.
Modul
1: Reella tal. Allmän teori om funktioner
(definitionsmängd, värdemängd); sammansättningar, inversa
funktioner. Elementära funktioner. Induktionsargument.
Gränsvärden och kontinuitet. Grundläggande grafritning.
Oändliga summor (serier).
Modul 2:
Derivatabegreppet. Räkneregler, speciellt produktregeln,
kvotregeln, och kedjeregeln. Derivering av de elementära
funktionerna. Medelvärdessatsen. Extremvärden. Användning av
derivatan vid grafritning. Andraderivatans tolkning; konvexitet;
inflexionspunkter. Optimeringsproblem och olikheter.
Modul
3: Primitiva funktioner. Partiell integration;
variabelsubstitution. Rationella funktioner och
partialbråksuppdelning.
Modul 4: Integralkalkyl med
Riemannsummor. Räknelagar, uppskattningar (triangelolikheten).
Integralkalkylens medelvärdessats. Integralkalkylens
(Analysens) huvudsats. Insättningsformeln. Generaliserade
Riemannintegraler och konvergensbegreppet.
Modul 5:
Tillämpningar av integralkalkylen. Kurvlängd, Rotationsytor
och volymer. Jämförelse mellan integraler och serier (Cauchys
kriterium). Första ordningens differentialekvationer. Linjära
differentialekvationer av andra ordningen.
Modul 6:
Maclaurins och Taylors formler med restterm. Motsvarande
Taylorserier. L'Hospitals regel.
Efter kompletteringstentamen kommer som brukligt ordinarie
omtentamina att ges vid vissa bestämda datum under året. Dessa
är ej modulbaserade, vilket innebär att man måste visa
sina kunskaper inom alla områden av kursen, och att man
behandlas på samma sätt som övriga omtentander från tidigare
årskurser. BONUSPOÄNG från kursen ges EJ.
