Allmänna mål

En del av målen är mycket generella och inte möjliga att relatera till vissa delar av kursen: Vad gäller målen för grundbegrepp, matematiskt språkbruk, matematiska resonemang, modellering och problemlösning hänvisas till de allmänna målen för kursen 5B1135 Matematik 1.
Några viktiga nya grundbegrepp listas här nedan.

Linjär algebra

Vektor, determinant, skalärprodukt, kryssprodukt. Det linjära rummet Rⁿ,
linjär transformation och matris. Egenvärde och egenvektor.

Flervariabelanalys

Gränsvärde (flervariabelfallet), differentierbarhet, partiell derivata, gradient och differential.

Specifika mål

Efter kursen skall den studerande känna till, förstå och kunna tillämpa.

Vecka 1

• Gauss–Jordans metod att lösa linjära ekvationssystem.
  
• De tre fallen: unik lösning, ingen lösning och oändligt många lösningar samt motsvarande geometriska tolkningar.
  
• Homogena system (med högerleden=0) som alltid har den triviala lösningen x = 0.
  

Vecka 2

• Matrisalgebra, speciellt matrisprodukt, samt räkneregler. (bl.a. AB normalt skild från BA).
  
• Enhetsmatrisen E , transponerade matrisen A^T och inversmatrisen A^-1 samt villkoret det(A)=0 som innebär att A^-1 inte existerar.
  
• Några viktiga relationer:
  

• (AB)^T= B^TA^T
  
• (AB)^-1= B^-1A^-1
  
• det(AB)=det(A)det(B).
  

• Metoden att bestämma A^-1 (utökad Gauss-Jordan).
  
• Formeln för A^-1 i termer av cofaktorer, A:s adjunkt och det(A).
  
• Allmänna regeln för utveckling av determinanter längs en rad eller kolumn.
  

Vecka 3

• Linjära system uttryckta som Ax=b samt lösningen x = A^-1b om A^-1 existerar.
  
• Determinanten för systemmatrisen (om denna är kvadratisk) och motsvarande villkor för en unik lösning ( determinanten skild från 0).
  
• Linjärt beroende och oberoende för en mängd vektorer samt relationen till determinanten för motsvarande matris med vektorerna som rader (om denna är kvadratisk).
  
• Cramers regel för lösningar av linjära system, speciellt då systemet har parameterkoefficienter.
  
• Räkberegler för vektorer
  

Vecka 4

• Skalärprodukten a·b (med geometrisk resp. algebraisk definition).
  
• Projektionen a_v av en vektor a på en vektor v m.hj.a. skalärprodukt.
  
• Kryssprodukten axb (med geometrisk och algebraisk definition). samt hur dennas riktning definieras av skruvregeln.
  
• Kryssproduktens belopp som parallellogramarea.
  
• Trippelprodukten a·(bxc) som determinant samt dennas geometriska egenskap att vara = ±(volymen av den uppspända lådan).
  
• Linjens och planets ekvationer.
  
• Metoder att lösa avståndsproblem av typen punkt/linje, linje/linje och punkt/plan.
  
• Att finna skärningspunkter mellan plan.
  
• Linjära avbildningar.
  

Vecka 5

• Rummen Rⁿ. Linjär kombination. linjärt oberoende, bas.
  
• Att finna en linjärkombination av givna vektorer = en given vektor
  
• Byten av koordinatsystem genom en linjär transformation av basvektorerna (med transformationsmatrisen C) .
  
• Relationen mellan en vektors koordinater i nya systemet (x_f) resp. gamla systemet ( x_e ): x_e = Cx_f,       x_f= C^-1x_e
  
• Relationen mellan en linjär transformations matris i nya systemet (A_f) resp. gamla systemet (A_e) :     A_f = C^-1A_eC.
  
• Ortogonala matriser ( = ON-matriser) som utför en stel vridning (det = 1) eller stel vridning + spegling (det = -1).
  
• Raderna (och kolumnerna) är inbördes ortogonala enhetsvektorer.
  
• För ON-matriser P gäller: P^-1 = P^T.
  

Vecka 6

• Egenvärde k och motsvarande egenvektor v till en kvadratisk matris A: Av = kv.
  
• Bestämning av egenvärden genom lösning av karakteristiska ekvationen och av motsvarande egenvektor(er) genom lösning av ekvationssystem.
  
• Diagonaliseringsproblemet samt villkoret för att diagonalisering är möjlig (n st. linjärt oberoende egenvektorer.)
  
• Diagonalisering med ON-matriser, som är möjlig om och endast om utgångsmatrisen är symmetrisk (Spektralsatsen).
  
• Symmetriska matriser har reella egenvärden.
  
• Dessa egenvärden blir diagonalelement efter diagonaliseringen.
  
• Kvadratiska former och deras representation m.hj.a. symmetriska matriser.
  
• Diagonalisering av kvadratiska former med ON-matriser.
  
• Klassificeringen av andragradskurvor och andragradsytor med utgångspunkt från deras diagonaliserade versioner.
  

Vecka 7

• Geometrisk tolkning av Rⁿ - R^m-funktioner.
  
• Inre punkt och randpunkt. Öppen, sluten, kompakt mängd.
  
• Gränsvärden och kontinuitet för flervariabelgränsvärden.
  
• Partiell derivata och dess geometriska tolkning.
  
• Differentierbarhet som en precisering av egenskapen att ha tangentplan.
  

Vecka 8

• Flervariabelkedjeregler, speciellt representationen av (F(x(t),y(t))' som en skalärprodukt mellan en gradient och en tangent- eller hastighetsvektor.
  
• Riktningsderivata som ett mått på tillväxten i en viss riktning.
  
• Gradient och dennas egenskaper att utpeka maximala tillväxtriktningen och att vara vinkelrät mot nivåytor och nivåkurvor.
  
• Bestämning av tangent och tangentplan m.hj.a. gradient.
  
  

Vecka 9

• Tolkningen av vektorvärda funktioner och motsvarande linjära funktioner.
  
• Transformering av derivatauttryck vid variabelbyten.
  
• Kedjeregler på matrisform för vektorvärda sammansatta funktioner.
  
• Invertering av de partiella derivatorna i ett variabelbyte genom invertering av en Jacobimatris.
  
• Villkoret för lokal existens av inverser till Rⁿ - Rⁿ-funktioner i termer av motsvarande Jacobimatris (determinanten skild från 0).
  

Vecka 10

• Villkoren för lokal existens av funktioner, implicit definierade av f= c, i termer av delmatriser till f:s Jacobimatris. (Determinanterna skilda från 0.)
  
• Taylorutveckling av Rⁿ - R^m- funktioner.
  
• Differentialen till en funktion f, som med andra beteckningar, utgör Taylorutvecklingens linjära del och kan uttryckas m.hj.a f:s Jacobimatris.
  
• Differentialens invarians, som är ett sätt att säga att differentialen för en sammansatt funktion f °g kan uttryckas m.hj.a en matrisprodukt mellan f:s och g:s Jacobimatriser.
  
• Lokala extremvärdesproblem, som löses med hjälp av den kvadratiska formen i Taylorutvecklingens kvadratiska del samt klassificering av dessa.
  
• Egenvärdena till kvadratiska formens symmetriska matris bestämmer den stationära punktens karaktär.
  

• (Båda egenvärdena > 0: Lok. min.
  
• Båda egenvärdena < 0 : Lok. max.
  
• Egenvärdena har olika tecken: Sadelpunkt.
  
• Något egenvärde = 0 : Ingen slutsats. Högre ordningens termer måste undersökas.)
  

Vecka 11

• Totala extremvärdesproblem, där största och minsta funktionsvärdena söks. Områdets rand måste då undersökas.
  
• Lagranges multiplikatormetod för extremvärdesproblem med bivillkor, med vilken man bl.a. kan finna max. och min. på randkurvor och randytor.
  
• Matrisnormen till matrisen A, ||A|| , som är en lösning på problemet att avgöra maxvärdet för |Ax| då x har längden 1.
  
• Kan lösas med Lagranges metod eller algebraiskt i termer av egenvärdena till den symmetriska matrisen A^TA.
  
• Minstakvadratmetoden som löser problemet att finna bästa approximativa lösningen till ett överbestämt linjärt ekvationssystem. Kriteriet för bästa lösning är att kvadratsumman av avvikelserna i varje ekvation skall minimeras. Kan lösas algebraiskt med normalekvationerna eller analytiskt som ett minimeringsproblem.