KTH   Matematik    5B1116      Matematik II för ME 2005/6

5. LA3              Linjär algebra 3.

Utskrift(PDF)
Förkunskaper

Föreläsningar

Avsnitt i LGA (Linjär geometri och algebra.)

Innehåll (LGA):

Kap.7 (ej 7.3.4*).

Kap.8.
Fr  28/01: 8-10

7.2 Byte av koordinatsystem.

  • 7.2.1 Transformationsmatriser.
    ON-transformationer.
  • 7.2.2 Vektorers koordinater i olika system.
Vid linjära koordinatbyten kan man införa ett nytt koordinatsystem med en linjär transformation C som ger de nya basvektorerna fj i termer av de gamla ej genom fj=Cej,   j=1,2,3.
Matrisen C kallas transformationsmatris. Oftast låter man de gamla basvektorerna vara e1T = (1,0,0) , e2T = (0,1,0) , e3T = (0,0,1) och i det fallet består C:s kolumner av de nya basvektorerna fj. Transformationer vars nya basvektorer är inbördes ortogonala och har längden 1 kallas ON-transformationer. Motsvarande ON-matriser har determinanten 1 eller -1.

Det finns en relation mellan en vektors koordinater i gamla och nya systemet (ve resp. vf ) nämligen
ve = Cvf.

Fr  28/01: 8-10

7.2 Byte av koordinatsystem (forts.)

  • 7.2.3 Matrisers komponenter i olika system.
På samma sätt som vektorers koordinater transformeras vid koordinatbyten så gör matrisers komponenter det.
Om ue och ve uppfyller ve=Aeue i det gamla koordinatsystemet söker man den matris Af som utför samma transformation i det nya systemet:
vf=Afuf.
Det visar sig att relationen mellan Ae och Af är
(*)  Af=C-1AeC.

I det vanliga specialfallet att C är en (5.1) ON-matris har man god användning av relationen
C-1 = CT, som alltså gäller då C är en ON-matris och som underlättar inverteringen av C i (*).

  On 02/02: 13-17

7.3 Diagonaliseringsproblemet.

  • 7.3.1-2 Egenvärden och egenvektorer.
Om vektorn v och talet λ uppfyller A v= λ v, säger man att λ är ett (5.2) egenvärde till matrisen A och att v är en egenvektor till A svarande mot egenvärdet λ. Dessa begrepp har ett stort antal tillämpningar inom och utom matematiken. Bl.a löser man med deras hjälp diagonaliseringsproblemet för matriser i de fall detta är möjligt.
Ett viktigt problem är att bestämma egenvärden och motsvarande egenvektorer till en given kvadratisk matris.
Här använder man metoder från modul LA2 (determinanter och linjära homogena ekvationssystem).

On 02/02: 13-17

7.3 Diagonaliseringsproblemet (forts.)

  • 7.3.3 Diagonalisering med ON-transformationer.
Det visar sig att en matris alltid kan (5.3)diagonaliseras om den är symmetrisk, dvs uppfyller att A = AT. (Diagonalisering av A=Ae innebär att den transformerade nya matrisen Af=C-1AeC är en diagonalmatris). Dessutom kan diagonaliseringen alltid ske med en ON-matris C. Den erhållna diagonaliserade matrisen har då A:s egenvärden som diagonalelement.

On 02/02: 13-17

    Kvadratiska former
  • 8.1.1-2 andragradskurvor

(5.4) Kvadratiska former kan beskrivas som andragradspolynom i flera variabler med enbart andragradstermer. Sådana polynom kan skrivas på formen xTQx där xT = (x1, x2, ...) och Q är en symmetrisk matris.
I fallet två variabler blir Q en 2x2 matris och ekvationer av typ xTQx = ax+b beskriver andragradskurvor. Genom att utföra ett koordinatbyte med en ON-matris kan man diagonalisera den kvadratiska formen. Motsvarande diagonalisering av andragradskurvans ekvationer ger möjlighet att ge en algebraisk beskrivning av den klassiska klassificeringen, ellipser, hyperbler och parabler.
Må 07/02: 10-12
    Andragradsytor
  • 8.2.1 Huvudaxelformerna.
  • 8.2.2 Reduktion till huvudaxelform.
Diagonaliseringar av kvadratiska former i tre variabler svara på samma sätt mot en klassificering av (5.5) andragradsytor . Med fler variabler blir antalet olika fall större än i tvåvariabelfallet. Diagonaliseringsproceduren kallas också reduktion till huvudaxelform och svarar mot att man låter det nya koordinatsystemets axlar sammanfalla med huvudaxlarna till den aktuella andragradsytan.

Må 07/02: 10-12

    Andragradsytor(forts.)
  • 8.2.3 Exempel:
    • Matrisnorm
    • Ytor av typ z=f(x,y).
Begreppet (5.6a) Matrisnorm (även (5.6b) ) används i samband med problemet att maximera |Av| då |v|=1. Matrisnormen ||A|| definieras i själva verket som detta maximum. Lösningen består bl.a. i att man bestämmer egenvärdena till den symmetriska matrisen ATA.

Studium av funktioner z=f(x,y) av kvadratiskform-typ behövs i samband med max- och minundersökningar i modul FV3. Sådana kvadratiska former förekommer i den kvadratiska delen av Taylorutvecklingar av tvåvariabelfunktioner. På samma sätt som tecknet för y'' normalt avgör ett extremvärdes karaktär i envariabelfallet bestämmer den kvadratiska formen och dess matris Q ett extremvärdes karaktär i tvåvariabelfallet. Närmare bestämt är det Q:s egenvärden som avgör detta.




   Uppdaterad: 2004-11-01 Sidansvarig:Kursledare