Kursplanering SF1624  Geometri och algebra för  IT & ME, per2 ht 2008  Schema

• Kursbeskrivning: Kursen behandlar huvudsakligen vektorer, matriser och linjära ekvationssystem
• Kursinnehåll
  Vektorer i planet och rummet.
  Matriser. Linjära avbildningar.
  Linjära ekvationssystem.
  Determinanter.
  Egenvärden, egenvektorer, diagonalisering.
  Allmäna vektorrum.
  Komplexa tal. Polynom.
  Induktionsbevis.
  
• Kurslitteratur
Andersson Lennart m.fl. : Linjär algebra med geometri.Säljes på Kårbokhandeln.
• Ekholm Thomas:  Kompletteringskompendium till kursenLinjär Algebra. Säljes på matteexpeditionen.

---

Exempel på tillämpningar av linjär algebra


---

Viktigt:
För att lyckas med sina matematikstudier är det absolut nödvändigt att egenhändigt lösa många av de problem som finns i läxor  med hjälp av de många exempel som finns i kursboken. Naturligtvis så kommer övningstillfällena att utnyttjas till detta men dessa timmar är långt ifrån tillräckliga - försök att avsätta åtminstone 10 timmar varje vecka för självstudier. Många studenter upplever högskolematematik som väsentligt skild från gymnasiematematik; det finns nog ett visst fog för det - på högskolan tränger man lite djupare ned i ämnet och försöker att förstå varför saker och ting är som de är. Studietekniken måste anpassas därefter; som student måste man ta sig tid till att verkligen behandla det som står i kursboken; läs en mening i taget och övertyga dig själv (med hjälp av penna och papper) om att du verkligen har förstått innebörden av den innan du går vidare till nästa. Boken är späckad med exempel - ta till dig dessa noggrant!

Nedanstående planering gäller i huvudsak, men detaljer kan komma att ändras under kursens gång.

Detta gäller även datum för kontrollskrivningar. Dessa ligger på de sista 45mn av angiven övning.

Några studieråd =LÄXOR

Modul 1 
Tillbaka till kursenshemsida



Föreläsn /övn/ KS.nr..	Tid	Sal	KB: Teori	KB: Förslag till övningsexempel
F1	Mån 27/10: 10-12 1.1 Vektorer 1.2Projektioner,koordinater 1.3 Skalär produkt	Aula	Vektoralgebra handla om vektorer: riktade, flyttbara sträckor (pilar), som representeras av koordinaterna för den punkt vektorn pekar ut om den placeras i origo. Vektoraddition är en komponentvis addition av samma typ som addition av komplexa tal. Skalärprodukt  mellan vektorer resulterar i en skalär (dvs tal) och används bl.a. vid:  Projektion.	1.1bcd, 1.4, 1.5a, 1.7a, 1.9 1.19, 1.25, 1.29, 1.36, 1.39, 1.42. LÄXA 1
F2	Tis 28/10: 10-12 1.3 Vektorprodukt (=kryssprodukt) 1.4:  determinanter av andra och tredje ordning.		Kryssprodukten av två vektorer ger en vektor som är ortogonal mot de båda vektorerna. För att avgöra vilken av de två möjliga riktningarna som gäller, använder man skruvregeln: Kryssprodukt. Skruvregeln Trippelprodukt 1 Här visas hur trippelprodukten kan tolkas som (den ev. negativa) volymen av den parallellepiped (sneda låda) som spänns upp av de ingående vektorerna. Trippelprodukten visar sig också kunna beräknas som en determinant: Trippelprodukt 2. Kryssprodukten används för att beräkna vridmoment, magnetfält och andra vektorvärda storheter som är produkten av två fysikaliska vektorer.	1.52,1.54,1.57, 1.65,1.66 LÄXA2
Ö1	Tis 28/10: 13-15	432,532,533
F3	Ons 29/10: 13-15 1.5 Linjer och plan.	Aula	I vektoralgebra kan följande ekvationer formuleras: Linjens ekvation Planets ekvation I det senare används skalärproduktens egenskap att vara = 0 då.de båda vektorerna i produkten är ortogonala (vinkelräta). Typiska tillämpningar av vektoralgebra i tre dimensioner är lösningen av följande problem:: Åvstånd punkt - plan. Avstånd punkt - linje Avstånd linje - linje Projektionsmetoden kan används här i samtliga fall. I det sistnämnda är även vektorprodukten användbar	1.69bd, 1.71, 1.72a, 1.73a, 1.74 1.83a, 1.85, 1.87, 1.91, 1.105, 1.106a,  1.108, 1.110 LÄXA
F4	Tor 30/10: 10-12 2.1 Vektorer av högre dimensioner. Matriser  2.2:Matriser	Aula	I avsnitt 2.1 visas att skalärprodukten kan användas i rum med fler dimensioner. Dett gäller innte vektorprodukten som endast kan definieras i R3.	2.1abfg, 2.5, 2.7, 2.9aceh, 2.10ab, 2.13a, 2.16b, 2.23. LÄXA4
Ö2	Tor 30/10: 13-15	432,532,533
F5	Mån 3/11: 10-12  2.3:  Matriser och Linjära avbildningar 2.4: Sammansatta avbildningar.	Aula	En linjär avbildning från Rm till Rn kan representeras av en matris. Man kan definiera produkten av en matris A och en vektor u som en ny vektor v, v = Au, så att avbildningarna från u till v bildar en linjär transformation. Man får en naturlig definition av en matrisprodukt genom att kräva att produkten AB skall representera en sammansättning av avbildningarna som representeras av B resp. A . Observera att kommutativitet inte gäller, dvs AB är normalt inte samma matris som BA. Operationen transponering, AT, innebär att varje rad övergår till en kolumn (rad nr j blir kolumn nr j). Enhetsmatriser fyller samma funktion som ettor i normal talalgebra. De är kvadratiska matriser med ettor i diagonalen och nollor i övrigt.	2.31, 2.32, 2.34a, 2.39a, 2.48, 2.51, 2.54 LÄXA5
F6	Tis 4/11: 10-12		Repetition inför KS1
Ö3	Tis4/11: 13-15 KS1: 14.15-15:00	531,532,533	Tis4/11: 13-15 KS1: 14.15-15:00	KS1 består avTRE  liknande tal ur ovanstående LÄXORNA

Modul 2:
Tillbaka till kursenshemsida


Föreläsn /övn/ KS.nr..	Tid	Sal	KB: Teori	KB: Förslag till övningsexempel
F7	Ons 5/11: 13-15 3.1 Inledning till linjära ekvationssystem 3.2 Gausselimination	Aula	Gausselimination ((3.1), (3.2) kallas den metod som oftast används för handberäkning av lösningar till ekvationssystem. Här behandlas först det viktiga specialfallet homogena system, där alla högerled är 0. Homogena system har alltid minst en lösning, nollösningen. Liggande system har fler variabler än ekvationer och har antingen oändligt många lösningar (normalt) eller inga .	3.3, 3.5; 3.9, 3.12, 3.15, 3.23, 3.26, 3.33. LÄXA 7
F8	Tor 6/11: 10-12  3.5:Överbestämda ekvationssystem= Minstakvadratmetoden	Aula	3.5.I fallet överbestämda system existerar ingen lösning. Däremot kan man oftast bestämma en lösning som enligt den så kallade minstakvadratuppskattningen är den bästa icke-exakta lösningen.	3.48, 3.49, 3.51, 3.55, 3.56, 3.57acd LÄXA 8
Ö4	Tor 6/11: 13-15	438,439,531
F9	Mån10/11: 10-12 4.1-42 Determinanter	Aula	4.1-4.2 Determinanter användes redan i den algebraiska definitionen av vektorprodukt. De visar sig också spela en viktig roll vid studiet av antalet lösningar till kvadratiska linjära ekvationssystem.	4.1bd, 4.2b, 4.3b, 4.4a, 4.7 4.11acdf, 4.12 LÄXA 9
F10	Tis  11/11: 10-12 4.4 Area- och volymsändring, multiplikationssatsen.	Aula	I 4.4 visas hur yt- och volymsskalan relateras till determinanter och hur detta leder till den enkla formeln för determinanten av en produkt av kvadratiska matriser.	4.15, 4.17, 4.19adf, 4.21,  4.22, 4.25, 4.26 LÄXA 10
Ö5	Tis 11/11: 13-15	438,532,533
F11	Ons  12/11: 13-15 5.1, 5.2, 5.3, 5.5: Tillämpning av determinanter. Kramers regler.	Aula	Behandlar Existens av lösningar till kvadratiska och ickekvadratiska system. Stående system har fler ekvationer än variabler och har normalt inga lösningar, men de andra två fallen kan förekomma. Simultana system består av flera system med samma vänsterled men olika högerled. De kan lösas simultant (dvs på en gång.)	5.1, 5.4, 5.6, 5.9, 5.10, 5.14, 5.16, 5.19 ,5.32 LÄXA 11
F12	Tor 13/11: 10-12	Aula	Repetition inför KS2
Ö6 KS2	Tor 13/11: 13-15 KS2: 14.15-15:00	438,439,531	Tor 13/11: 13-15 KS2: 14.15-15:00	KS2 består avTRE  liknande tal ur ovanstående  läxorna

Modul 3
Tillbaka till kursenshemsida


Föreläsn /övn/ KS.nr..	Tid	Sal	KB: Teori	KB: Förslag till övningsexempel
F13	Mån 17/11: 10-12 5.4: Linjärt beroende och oberoende vektorer. Bas .	Aula	Linjära avbildningar mellan rummen Rn och Rm tolkas olika beroende på vilka dimensioner n och m som är aktuella. Men linjariteten är en viktig princip som går att känna igen i samtliga fall.	5.22, 5.23, 5.26, 5.27, 5.30, 5.31 LÄXA 13
F14	Tis 18/11: 10-12 6.1, 6.2: Inversa och isometriska avbildningar.		Vänsterleden i normalt uppställda linjära ekvationssystem kan tillsammans ses som en matris-vektor-produkt, Av, där A är koefficientmatrisen och v variabelvektorn. Högerleden kan sammanfattas i den konstanta kolumnvektorn b.  Ekvationssystemet skrivs alltså Av =b. Detta ger möjlighet att skriva lösningen som v=A-1b, om systemmatrisen ( matrisen A) är kvadratisk och ominversmatrisen existerar. A-1 existerar om det(A) är skild från 0.	6.1, 6.2, 6.4, 6.7b, 6.8, 6.12, 6.16; 6.27ab, 6.29ac, 6.30ab, 6.37ab LÄXA 14
Ö 7	Tis 18/11:13-15	438,532,533
F15	Ons 19/11: 13-15 7.1 - 7.4 Egenvärden och egenvektorer.	Aula	Om vektorn v och talet λ uppfyller A v= λ v, säger man att λ är ett  egenvärde till matrisen A och att v är en egenvektor till A svarande mot egenvärdet λ. Dessa begrepp har ett stort antal tillämpningar inom och utom matematiken. Bl.a löser man med deras hjälp diagonaliseringsproblemet för matriser i de fall detta är möjligt. Ett viktigt problem är att bestämma egenvärden och motsvarande egenvektorer till en given kvadratisk matris. Här använder man metoder från modul LA2 (determinanter och linjära homogena ekvationssystem). $25 000 000 000 egenvektor: en artikel om linjär algebra bakom Google-sökning	7.2, 7.6, 7.12abd, 7.14 (A2,A4,A6,A7), 7.15 LÄXA 15
F16	Tor 20/11: 10-12  7.3-7.4: Egenvärden och egenvektorer, fort. 8.1 Basbyten	Aula	$25 000 000 000 egenvektor: en artikel om linjär algebra bakom Google-sökning Vid linjära koordinatbyten kan man införa ett nytt koordinatsystem med en linjär transformation P som ger de nya basvektorerna fj i termer av de gamla ej genom fj=Pej,   j=1,2,3. Matrisen P kallas transformationsmatris. Det finns en relation mellan en vektors koordinater i gamla och nya systemet (ve resp. vf ) nämligen ve = Pvf.	7.16ac, 7.17ac, 7.20, 7.22, 7.29, 7.34 LÄXA 16
Ö8	Tor 20/11: 13-15	438,439,531
F17	Mån 24/11:10-12 8.1-8.2: Basbyten och linjära avbildningar.	Aula	Vid linjära koordinatbyten kan man införa ett nytt koordinatsystem med en linjär transformation P som ger de nya basvektorerna fj i termer av de gamla ej genom fj=Pej,   j=1,2,3. Matrisen P kallas transformationsmatris. Det finns en relation mellan en vektors koordinater i gamla och nya systemet (ve resp. vf ) nämligen ve = Pvf. Motsvarande relationen mellan matriser är: (*)  Af=P-1AeP. där matrisen Af utför samma transformationer i nya systemet som Ae gör i gamla. Transformationer vars nya basvektorer är inbördes ortogonala och har längden 1 kallas ON-transformationer. ON-matriser har determinanten 1 eller -1. Då P är en ON-matris gäller att P-1 = Pt, vilket gör att matristransformationen ovan kan skrivas: Af=PtAeP. Motsvarande	8.1, 8.4, 8.6, 8.8, 8.11 LÄXA 17
F18	Tis 25/11:10-12		Repetition inför KS3
Ö9 KS3	Tis 25/11: 13-15 KS3: 14.15-15:00	438,532,533	Tis 25/11: 13-15 KS3: 14.15-15:00	KS3 består avTRE  liknande tal ur ovanstående läxorna

Modul 4

Tillbaka till kursenshemsida


Föreläsn /övn/ KS.nr.	Tid	Sal	KB: Teori	KB: Förslag till övningsexempel
F19	On 26/11:13-15 8.3 Linjära operatorer och diagonalisering	Aula	Det visar sig att en matris alltid kan diagonaliseras om den är symmetrisk, dvs uppfyller att A = At. (Diagonalisering av A=Ae innebär att den transformerade nya matrisen Af=P-1AeP är en diagonalmatris).  Dessutom kan diagonaliseringen alltid ske med en ON-matris P. Den erhållna diagonaliserade matrisen har då A:s egenvärden som diagonalelement.	8.12, 8.13, 8.15 LÄXA 19
F20	Tor 27/11: 10-12 8.4-8.5 Kvadratiska former 8.6 Diagonalisering av kvadratiska former	Aula	Kvadratiska former kan beskrivas som andragradspolynom i flera variabler med enbart andragradstermer. Sådana polynom kan skrivas på formen xtQx där xt = (x1, x2, ...) och Q är en symmetrisk matris. I fallet två variabler blir Q en 2x2 matris och ekvationer av typ xtQx = ax2+bx+c beskriver andragradskurvor. Genom att utföra ett koordinatbyte med en ON-matris kan man diagonalisera den kvadratiska formen. Motsvarande diagonalisering av andragradskurvans ekvationer ger möjlighet att ge en algebraisk beskrivning av den klassiska klassificeringen, ellipser, hyperbler och parabler.	8.1, 8.4, 8.6,  8.8, 8.11, 8.12, 8.13, 8.15 LÄXA 20
Ö10	Tor 27/11: 13-15	438,439,531
F21	Mån  1/12: 10-12	Aula	KOMPLETTERINGSKOMPENDIUM finns att hämta här Avsnitt: Kompendium, s. 1-6 Induktion. Induktionsbevis. är en viktig bevisprincip för påståenden om de naturliga talen, som bygger på Induktionsaxiomet. Påståenden som lämpar sig för induktionsbevis är av typen: Alla naturliga tal (n=1,2,3,...) har egenskapen P(n). Oftast är P(n) en likhet som innehåller en summa med n stycken termer. Men också påståenden om delbarhet, som 5n-1 är jämnt delbart med 4 för n=1,2,... går bra att visa med induktion. Faktablad: Induktionsbevis 1 (Likhet med en summa)  Induktionsbevis 2 (Olikhet) Avsnitt: Kompendium, s. 7-10 Komplexa tal.	kompendium:  1.1, 1.3, 1.7, 1.9 1.12 LÄXA 21 kompendium: 2.1a, 2.2,  2.7a, 2.8a, 2.11,  2.12bc, 2.13c
F22	Tis 2/12: 10-12	Aula	Avsnitt: Kompendium, s. 11-27 Komplexa tal. och algebraiska ekvationer	kompendium: 2.1a, 2.2,  2.7a, 2.8a, 2.11,  2.12bc, 2.13c 3.1ac, 3.4 3.7, 3.8, 3.12, 3.14, 3.16c LÄXA 22
Ö11	Tis  2/12: 13-15	438,531,532
F23	Ons  3/12: 13-15	Aula	Avsnitt: Kompendium, s. 18 -27: Algebraiska ekvationer Avsnitt: 9.1- 9.9: Allmänna vektorrum  Gram-schmidits metod	3.1ac, 3.4 3.7, 3.8, 3.12, 3.14, 3.16c 9.1abc, 9.3, 9.5, 9.6, 9.7acdef, 9.8 LÄXA 23-
F24	Mån 8/12: 10-12	Aula	Repetition inför KS4
Ö12 KS3	Tis9/12: 13-16 KS4:15.15-16:00	438,439,531	Tis9/12: 13-16 KS4:15.15-16:00	KS4 består avTRE  liknande tal ur ovanstående läxorna
F25	Ons 10/12: 13-15	Aula	MATLABs redovisning
TENTAMEN	Lör  16/12	kl 14.00-19.00	Obs: anmälan krävs. minst 2 veckor innan 16/12 Tentamen lördag 16 december 2008, kl : 14.00-19.00


 

Sidansvarig: karim Daho Uppdateras kontinuerligt