KTH    Matematik


| Nyheter | KursPM | Schema | Planering | Kursinnehåll | Kursmål | Kursnämnd| Studiehandbok |
| Dagens | Kursmaterial | Repetition | Kursutvärdering | Extentor | Föreläsningar | Jour |

5B1135, Matematik I, 2003.2004.

Kursmal.5B1135.ME1

Mål för studiet av Matematik 1, 5B1135
Allmänna mål
Efter kursen skall den studerande
  • känna till och kunna använda differentialkalkylens grundbegrepp: funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata och integral.
  • förstå och kunna skriva matematisk text med variabler och parametrar, summatecken, gränsvärdes-, derivata- och integraltecken.
  • förstå och kunna utföra matematiska resonemang: med hjälp av implikationer, ekvivalenser, motsägelsebevis och induktionsbevis.
  • kunna ställa upp matematiska modeller och problem i termer av de grundläggande begreppen.
  • kunna använda differentialkalkylens klassiska lösningsmetoder .

Kortfattade specifika mål

Efter kursen skall den studerande känna till, förstå och kunna tillämpa:

Vecka 1
  • de komplexa talen och deras räkneregler.
  • de komplexa talens polära form samt begreppen, argument, belopp och konjugat.
  • komplex faktorisering av reella polynom samt faktorsatsen och algebrans fundamentalsats.
  • binomialsatsen.
  • induktionsbevis.
Vecka 2
  • de elementära funktionerna (polynom, rationella och algebraiska funktioner, exponentialfunktioner, logaritmer, trigonometriska och cyklometriska funktioner) och deras egenskaper (grafer, formler m.m.).
  • lösningsmetoder för vissa ekvationer med elementära funktioner och kunna hantera problemet med falska rötter.
Vecka 3
  • gränsvärdesbegreppet och dess användning vid definition av tal, funktioner, summan av oändliga serier m.m.
  • begreppet kontinuitet samt de viktigaste egenskaperna hos kontinuerliga funktioner.
  • de s.k. standardgränsvärdena samt elementära metoder att bestämma vissa andra gränsvärden.
  • derivatabegreppet och dess geometriska tolkning som tangentlutning men även alternativa tolkningar som tillväxthastighet m.m.
Vecka 4
  • derivatans viktigaste egenskaper som bl.a.Rolles sats och Medelvärdessatsen från vilka de praktiskt användbara relationerna mellan derivatans tecken och funktionens tillväxt kan härledas.
  • kurvundersökning och analys av olikheter med hjälp av derivator.
Vecka 5
  • Taylors formel med förutsättningar samt resttermens representation med en ordosymbol.
  • gränsvärdesbestämning med hjälp av ordokalkyl och Taylorutveckling av ingående funktioner eller med hjälp av l'Hospitals regel.
  • lokal analys av funktioner (även implicit definierade funktioner) genom framtagande av utvecklingarnas första termer.
  • Taylorserier, dvs utvecklingarnas fortsättning till oändliga serier, som ger möjlighet att definiera de elementära funktionerna på ett enhetligt sätt.
Vecka 6
  • Metoden att lösa homogena linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter med hjälp av de komplexa rötterna till de karakteristiska ekvationerna.
  • hur allmänna lösningar till linjära differentialekvationer framställs som kombinationer av homogena lösningar + en partikulärlösning relaterad till högerledet.
  • hur man bestämmer partikulärlösningar för några olika typer av högerled i ekvationen och hur man hanterar resonansfenomenet.
  • något om hur man ställer upp differentialekvationer som beskrivningar av förlopp där storheter som mängd, tillväxthastighet och tid relateras till varandra.
  • definitionen av den bestämda integralen men även metoden att bilda integralformler via Riemannsummor, där längden, arean eller volymen för geometriska grundelement ingår.
  • integralbegreppets geometriska tolkning s om arean av en yta, men även i förekommande fall som en volym, båglängd osv. samt (efter division med intervallängden) som funktionsmedelvärde.
Vecka 7-8
  • den grundläggande fundamentalsatsen, som relaterar derivata- och integralbegreppen till varandra, men även integralkalkylens medelvärdessats (som bl.a används i beviset för fundamentalsatsen).
  • standardmetoder för framtagande av primitiva funktioner för några vanliga typer av integrander ( bl.a. rationella funktioner ) samt även några exempel på icke elementärt integrerbara funktioner.
  • generaliserade integraler av olika typer.
  • areaformeln för ytor definierade av kurvor på polär form.
  • hur man behandlar integralolikheter genom att jämföra integranderna.
Vecka 9
  • konvergensanalys av vissa oändliga serier genom jämförelser med lämpliga generaliserade integraler samt även de satser som ger mer precisa villkor för konvergens och divergens av oändliga serier.
  • motsvarande konvergensanalys av generaliserade integraler.