KTH Matematik
| Rekommenderade uppgifter | Inlämningsuppgifter |Matematikjour | Tentamensanmälan | Extentor |
| Resultat |
SF1633, Differentialekvationer I, 2009.2010.
Nyheter för CBIOT2 och CKEMV2 hösten 2009.
Nu finns resultatet på kompletteringsskrivningen den 1 februari 2010 tillgängligt via länken SF1633.20100201. Resultatet finns även tillgängligt under Resultat
Skrivningarna finns att hämta på studentexpeditionen.
Nu finns lösningsförslag till dagens kompletteringstentamen tillgängligt.
Det nås via länken SF1633.20100201.TextSvar.
Nu finns resultatet på tentamensskrivningen den 12 januari 2010 tillgängligt via länken SF1633.20100112.
Skrivningarna finns att hämta på studentexpeditionen.
De som erhållit 2 godkända moduler får möjlighet att komplettera till godkänt betyg
måndagen den 1 februari 2010.
Skrivtiden är 1815-1915. ( Skrivtid 60 minuter. Man sitter hela skrivtiden.
Skrivsal är F1.
Var ute i god tid !
Nu finns lösningsförslag till dagens tentamen.
Den nås via länken SF1633.Extentor. eller direkt SF1633.2010112.Svar.
Nu finns resultatet på kompletteringsskrivningen den 16 november 2009 tillgängligt via länken SF1633.20091116. Resultatet finns även tillgängligt under Resultat
Skrivningarna finns att hämta på studentexpeditionen.
Nu finns lösningsförslag till dagens tentamen.
Den nås via länken SF1633.Extentor. eller direkt SF1633.20091116.Text.Svar.
Nu finns resultatet på tentamensskrivningen den 22 oktober 2009 tillgängligt via länken SF1633.20091022.
Skrivningarna finns att hämta på studentexpeditionen.
De som erhållit 2 godkända moduler får möjlighet att komplettera till godkänt betyg
måndagen den 16 november 2009.
Skrivtiden är 0900-1000. ( Skrivtid 60 minuter. Man sitter hela skrivtiden.
Skrivsal är F1.
Var ute i god tid !
Löst problem med tillväxt av en cell. Löst Z.C.10.3.30.
Löst begynnelsevärdesproblemet
diff(y(t);tt)+4*diff(y(t);t)+5*y(t)=(5*t-4)*U(t-1) ; y(0)=1 och diff(y(t),t)=-5).
Löst vågekvationen med randvillkoren u(0,t)=u(1,t)=0 och
begynnelsevillkoren u(x,0)=0 och diff(u(x,t),t)(t=0)=g(x).
g(x)=h då 1/4
Löst ekvationen x*(diff(y(x),xx)-2(x+1)*diff(y(x),x)+(x+2)y(x))=0, x>0
med reduktion av ordning. En lösning inses, y1=exp(x).
Härlett en partikulärlösning till ett inhomogent system xprim=Ax+f
då en fundamentalmatris var given. Bestämt allmänna lösningen.
Vidare tillämpades detta på följande exempel: xprim =(1 ,4 ; 0,2) x+(exp(t), exp(t)).
Bestämt alfa så att systemet xprim =(alfa ,-2 ; -alfa,1) x får periodiska lösningar.
Bestämt fourierutvecklingen för f(x)=2*x^2-1, -1
sum(1/n^2, n=1--oändl) och sum((-1)^n/n^2, n=1--oändl)
Löst uppgift Z.C.11.3.42. där en partikulärlösning till differentialekvationen
diff(x(t),tt)+x(t)=f(t) bestämdes.
Högerledet är en periodisk funktion och utvecklades i en cosinusserie.
Löst uppgift Z.C.12.5.12. Värmeledning i en platta med obegränsad utsträckning i y-led.
Resultatet av KS2 finns nu tillgängligt under Resultat eller direkt KS2 .
Kontrollskrivningarna, KS2, finns nu på teknologexpeditionen.
Knytit ihop uppgift Z.C,12.3.3. ( bestämt koefficienterna i utvecklingen.
Konvergensförhållandena för fourierserier har diskuterats.
Löst uppgift Z.C.11.2.7. och kommenterat Gibbs fenomen.
Löst uppgift Z.C.11.2.19. med hjälp av Z.C.11.2.7.
Löst Z.C.11.3.28 och därvid utvidgat en funktion till en jämn funktion i den förtsa delen av uppgiften.Den andra delen av uppgiften innebar en udda utvidgning av funktionen.
Fortsatt behandling av värmeledningsekvationen.
Lösningen anpassades till begynnelsevillkoret u(x,0)=f(x).
Härvid har ett problem uppstått.
Nämnligen att uttrycka en funktion med hjälp av konstantterm och cosinustermer.
Detta problem löstes genom att dels integrera över stavens längd, L, och dels multiplicera med cos(mPix/L) och intergrera över stavens längd.
Detta ger oss anledning att studera trigonometriska fourierserier.
Definierat inre produkt. Visat ortogonalrelationerna.
Visat att funktionsföljden
{1, cos(Pix/p), cos(2Pix/p),...., cos(mPix/p),..., sin(Pix/p) , sin(2Pix/p), ....,sin(nPix/p), .... }
är ortogonal på intervallet (-p,p).
Definierat trigonometriska fourierserier.
Bestämt fourierkoefficienterna.
Särskilt har udda och jämna funktioner betraktats.
Använt variabelseparationsmetoden på vågekvationen.
De tre skilda fallen har undersökts.
Anpassat lösningarna till vågekvationen till randvillkoren u(0,t)=u(L,t)=0.
Anpassat dessa lösningar till begynnelsevillkoren:
Härvid har ett problem uppstått.
Nämnligen att uttrycka en funktion med hjälp av sinustermer.
Bestämt allmänna lösningen till värmeledningsekvationen med hjälp av variabelseparationsmetoden.
Därefter bestämdes lösningar som uppfyller randvillkoren:
diff(u(x,t),x){0,t)=diff(u(x,t),x){L,t)=0.
Kort genomgång av KS2.
Avslutat Laplaceavsnittet med uppgifterna Z.C.7.2.8, Z.C.7.3.16., Z.C.7.3.40. och Z.C.7.6.6.
Påbörjat avsnittet med partiella differentialekvationer.
Introduktion av partiella differentialekvationer.
Infört variabelseparationsmetoden.
Löst följande partiella differentialekvation:
diff(u(x,y),x)=u(x,y)+diff(u(x,y),y)
med villkoret u(x,0)=5*exp(-3*x)-4*exp(x).
Nu finns dagens KS tillgänglig KS2.
Visat att en styckvis kontinuerlig funktion av exponentiell ordning har laplacetransform.
Diskuterat limF(s) då s gå mot oändligheten.
Visat laplacetransformaen av faltningsintegralen.
Löst Z.C.7.4.38.(Z.C.7.4.36. i äldre upplaga) och Z.C.7.5.6.
Genomgång av förra årets KS motsvarande nuvarande modul 2.
Tentamensanmälam är öppen för anmälan fram till och med
månndagen den 5 oktober 2009 kl 2400
Se till att ha kursval på kursen.
Resultatet av KS1 finns nu tillgängligt under Resultat eller direkt KS1 .
Kontrollskrivningarna, KS1, finns nu på teknologexpeditionen.
Kontrollera att resultatet stämmer.
SPARA KONTROLLSKRIVNINGARNA TILLS RESULTATET PÅ KURSEN ÄR RAPPORTERAT I LADOK.
Bestämt laplacetransformen för funktionen fa(t)=(1/(2*a))*(U(t-(t0-a))-U(t-(t0+a))).
Genomfört gränsövergång då a går mot noll.
Därvid har vi erhållit laplacetransformen för Diracs deltafunktion.
Visat laplacetransformen för funktionen f(t)*exp(at).
Genomgång av laplacetransformen för t^n*f(t).
Bestämt laplacetransformen för följande funktioner:
f(t)=1, f(t)=exp(at), f(t)=cos(at), f(t)=sin(at), f(t)=t och f(t)=t^2.
Diskuterat faltningsintegralen och dess laplacetransform.
Placering då det gäller SF1633. KS2.Mån 28/9, 0900-1000 .
Föreläsningsserie CBIOT2 & CKEMV2: E31-36, E51-53.
Föreläsningsserie CMAST2: Q11, 13, 15, 15, 17, 21-22, 24, 26, 31.
Föreläsningsserie CDEPR2 & CMATD2: F1, Q33, 34, 36.
KOM I GOD TID !
Gå till rätt salar!
Löst ppgift Z.C.10.3.33. med hjälp av fasplanmetoden.
Introduktion av integraltransformer, Laplacetransformer och Fouriertransformer.
Definierat laplacetransformen.
Presenterat laplacetransformens ideer.
Visat laplacetransformen för första och andra derivatorna.
Definierat Heavisides stegfunktion U(t-a).
Visat laplacetransformen för funktionen f(t-a)U(t-a).
Skisserat funktionerna f(t), f(t)U(t-a) och f(t-a)U(t-a).
Introducerat funktionen fa(t)=(1/(2*a))*(U(t-(t0-a))-U(t-(t0+a))) samt ritat dess graf.
Diskuterat vad som händer då a går mot noll.
Stabilitetsundersökning av autonoma differentialekvationer.
Stabilitetsundersökning av icke-linjära system av autonoma differentialekvationer.
Taylorutveckling användes för linjarisering.
Löst uppgift Z.C.10.3.18.
Löst uppgift Z.C.10.3.14.
Uppgiften löstes genom att linjarisera det icke-linjära systemet Även fasporträttet konstruerades.
Betrakta systemet från den stationära punkten genom att införa nya koordinater.
Introduktion av autonoma system och stabilitet.
Diskuterat olkia lösningstyper: stationär punkt, båge och periodisk lösning.
Villkor för entydig stationär punkt.
Klassificerat de olika typerna av punkter:
stabil nod, instabil nod, sadelpunkt, degenererad stabil nod, degenererad instabil nod, stabil spiralpunkt, instabil spiralpunkt och centrum.
Sammanfattning angående stabilitet för linjära system med utgångspunkt från egenvärden.
Löst uppgifterna Z.C.10.1.16, Z.C.10.2.11 och Z.C.10.2.18.
Genomgång av fallen med
a) Skilda reella egenvärden.
b) Upprepade reella egenvärden.
c) Komplexa egenvärden.
Löst uppgifterna Z.C.8.2.2., Z.C.8.2.19., Z.C.8.2.36 och Z.C.8.3.23.(7:e uppl.).
Nu finns dagens KS tillgänglig KS1.
Genomgång av metoden "variation av parameter"
Omformat differentialekvationen diff(y(x),xx)+y(x)=0 till ett linjärt system av första ordningen.
Bestämt egenvärdena och tillhörande egenvektorer till systemets matris.
Vidare har en komplex lösning till systemet bestämts.
Utifrå denna har två linjärt oberoende lösningar bestämts.
Konstaterat att karakteristiska rötterna till differentialekvationen och egenvärdena är identiska.
Presenterat teorin för lösningarnas uppbyggnad.
Infört Wronskianen, Wronskideterminanten.
Redogjort för kopplingen mellan Wronskianen och linjärt oberoende lösningar.
Beskrivit lösningsstrukturen för system av linjära differentialekvationer.
Genomgång av allmänna homogena lösningen till det homogena systemet.
Genomgång av fallen med
a) Skilda reella egenvärden.
b) Upprepade reella egenvärden.
Diskuterat plana autonoma system samt berört linjarisering av
systemet diffX(t),t)=g(X) med hjälp av Taylorutveckling.
Entydigheten för begynnelsevärdesproblem-
Berört randvärdesproblem och därvid även löst uppgift Z.C.4.1.13.
Diskuterat linjärt beroende/oberoende och infört begreppet fundamentallösningar.
Infört Wronskianen, Wronskideterminanten.
Redogjort för kopplingen mellan Wronskianen och linjärt oberoende lösningar.
Beskrivit lösningsstrukturen för linjära differentialekvationer.
Genomgång av metoden "reduktion av ordning"
Placering då det gäller SF1633. KS1.Mån 14/9, 0900-1000 .
Föreläsningsserie CBIOT2 & CKEMV2: M21-24, M31-33, M35-38.
Föreläsningsserie CMAST2: Q11, 13, 15, 15, 17, 21-22, 24, 26.
Föreläsningsserie CDEPR2 & CMATD2: F1, L51-52, Q31, 33.
KOM I GOD TID !
Kort översikt av modul 2.
Linjära egenskapen diskuterades.
Metoderna "reduktion av ordning" och "variation av parameter" diskuterades.
Bestämt fundamentalmängd av lösningar till ekvationen
x*(diff(y(x),xx)-2*diff(y(x),x)+y(x))=0, x>0.
Vidare har allmänna lösningen till ekvationen x*(diff(y(x),xx)-2*diff(y(x),x)+y(x))=exp(x), x>0 bestämts. Härvid har metoden "reduktion av ordning" används.
Även metoden "variation av parameter" användes som alternativ lösningsmetod.
Lösning av linjära första ordningens ODE med hjälp av egenvärden och egenvektorer presenterades.
Variation av parametrar genomfördes för system.
Diskuterat och löst följande "modelluppgifter":
Z.C.3.2.5. Fiskepopulationsmodell.
Diskuterat kring "tankproblemen" Z.C.3.3.7.
Löst KS1 från förra året.
Nästa föreläsning kommer att behandla modul 2.
Genomgång av Bernoullska differentialekvationer.
Löst Z.C.2.5.6.Z.C.2.5.16.
Diskuterat och löst följande "modelluppgifter":
Z.C.3.1.4. bakterietillväxt
Löst Z.C.2.5.6.
Löst Z.C.2.2.24. med hjälp av entydighetssatsen.
Bestämt allmänna lösningen med hjälp av variation av parameter.
Detta innebär att den allmänna homogena lösningen bestämdes först.
Därefter ersattes den godtyckliga konstanten i den homogena lösningen med en funkton av x.
Insättning i den inhomogena diff.ekv. ger allmänna lösningen.
Diskuterat och löst följande "modelluppgifter":
Z.C.3.1.14. Newtons avsvalningslag.
Z.C.3.1.21.Tankproblem.
Kort sammanfattning av fredagens föreläsning.
Diskuterat autonoma differentialekvationer av första ordningen.
Löst Z.C.2.1.17. och Z.C.2.2.19.
Genomfört substitutioner i några differentialekvationer.
Diff.ekv. med homogent högerled har överförts till separabel diff.ekv.
Genomgång av Bernoullska differentialekvationer.
Löst Z.C.2.5.16.
Kommenterat Z.C.2.2.24.
Presentation av kursen och dess innehåll.
Redogjort för kursupplägg och examination.
Introducerat några befolkningsmodeller och diskuterat modellernas lämplighet.
De två modellerna är:
a) relativa tillväxthastigheten konstant.
b) relativa tillväxthastigheten konstant minus (konstant gånger antalet individer).
Genomfört kvalitativ analys på dessa exempel.
Löst uppgift Z.C.1.3.10.
Diskuterat riktningsfält för differentialekvationen: diff(y(x),x)=-x/y.
Visat lösningsmetoden för separabla differentialekvationer och för linjära av första ordningen.
Löst diff.ekv.: x*diff(y(x),x)-2*y(x)=x^3
Nu finns extrauppgifter tillgängliga. De benämnes moduluppgifter.
De finns under länken Föreläsningsplan
Kursens hemsidor är under uppbyggnad.
Studenter från CBIOT2 och CKEMV2, för vilka kursen valts,
hälsas välkomna till kursen SF1633, Differentialekvationer I.
Titta gärna i förväg på kapitel 1-3 i Zill-Cullen.
Detta innebär i detta fall att envariabel, flervariabel och linjär algebra behärskas.
Ett nätbaserat stöd finns under följande länkar:
För mer grundläggande finns KTH:s Sommarmatematik.
För envariabel finns SF1643, Tal och funktioner och SF1644, Analys i en variabel .
För linjär algebra finns SF1645, Linjär algebra .
Då det gäller linjär algebra och differentialdelen i flervariabelanalys finns 5B1116, Matematik II.
