KTH
Matematik
| Rekommenderade uppgifter | Inlämningsuppgifter |Matematikjour | Tentamensanmälan | Extentor |
| Resultat |
SF1633, Differentialekvationer I, 2012.2013.
Nyheter för CDEPR2 och CMAST2 hösten 2012.
u är resultatet på kompletteringstentamen klart. Se länken http://www.math.kth.se/math/GRU/2012.2013/SF1633/CINEK/SF1633.Resultat.2012. 2013.html
Nu finns resultatet på tentamensskrivningen den 8 januari 2013 tillgängligt
via länken Resultat eller direkt SF1633.20130108.
Skrivningarna finns att hämta på studentexpeditionen.
Nu finns resultatet på kompletteringstentan den 12 november 2012 tillgängligt under rubriken Resultat ovan.
Skrivningarna finns att hämta på studentexpeditionen.
Nu finns lösningsförslag till dagens tentamen.
Den nås via länken
SF1633.Extentor eller direkt 20121112.TextSvar.
Använd svarskoden: fleva12
Denna kursutvärderingen är inriktatd till studenter på programmen CDEPR och CMAST som gått på kursen under hösten för första gången. Jag vore tacksam om så många som möjligt Er ville ta sig tid och svara på frågorna.
Nu finns resultatet på tentamesskrivningen den 15 oktober 2012 tillgänglits under rubriken Resultat ovan.
Skrivningarna finns att hämta på studentexpeditionen.
Se under rubriken Tentamensanmälan/Hösterminen 2012
KS2 med lösningar finns här
Repition Räknade tentamenstal:
Tal med homogent system med konstant matris med komplexa egenvärden.
Bestämning av stabilitet och typ av stationära lösningear hos ett icke linjärt autonomt system
En första orning icke homogent system och en lösning som uppfyller ett gränvärde när t går mot oändligheten.
Några olika populationsmodeller.
Repitition. Räknade tentamestal:
Reduction av ording av andra ordings linjär differentialekvation
Ett ortogonalt system av sinus funktioner { sin(n - 1/2 )t} som uppfyller randvärdes villkoren x(0)=0 och x'(pi)=0 , och relaterad värmeledningsekvation med randvillkor.
Fourierserier, Cosinusserier och Sinusserier,
Exempel: f(x)=x^2, 0<= x <= L
Forsättning med Laplace transformen:
Exempel på använding av Faltniningsformeln, Volterra Integralekvation.
Laplace av periodiska funktioner.
Dirac Delta fundtionen och dess Laplace transformk
differential ekvationer med Dirac Delta funktionen i högerled.
Fourierserier, Exempel beräkning av Fourierserie-kooficienterna av
pi + x för -pi < x pi
Cosinusserier och Sinusserier
För CINEK2 & CENMI2: Q11, Q13, Q15, Q17, Q21, Q22, Q24, Q26, Q31, Q33, Q34, Q36.
För CMAST2: M21, M22, M23, M24, M31, M32, M33, M35, M36, M37, M38.
För CDEPR2: L21, L22, L42, L43, L44, L51, L52.
För CBIOT2, CKEMV2&CMATD2 samt övriga: E31, E32, E33, E34, E35, E36, E51, E52, E53.
Tillåtet hjälpmedel är BETA.
KOM I GOD TID !
KS1 med lösningar finns här
SPARA KONTROLLSKRIVNINGARNA TILLS RESULTATET
PÅ KURSEN ÄR RAPPORTERAT I LADOK.
OBS ! Tentamensanmälan. OBS !
Fortsättning med värmelednings-, våg- och Laplace ekavationer
Börjat med
Z.C kap. 12 Partiella differentialekvationer, av olika typer:
parobiska, hyberboliska och elliptiska.
Gjorde ett mycket enkelt exempel med värmeledingsekvationen(parabolisk) med enkelt randvillkor. (begynnelsevillkor kan vi tillsvidare inte klara av).
Gjorde ett exempel med fasplan metoden.
Löst färdigt Z.C 4.6,24 från föregående föreläsning ( variation av parametrar av 2:a ordnings linjär ekvation -efter att först gjort om diffekvationen till ett 2-dimensionellt system)
Introduktion av system genom ett enkelt exempel:
dx/dt=ax, dy/dt=by göres om till ett 2-dim system. Lösningen kan skrivas med hjälp av egenvektorer och egenvärden.
Vilka System kommer vi att behandla:
1. Autonoma system - kvalitativ analys. i Z.C kap. 10, (Frl 9 och Frl 10).
2.Linjära system (variation av parametrar behandlat i Frl 6)
Behandlat idag:
Linjära system:
Begynnelsevärde problemet. Existens och entydighets sats.
Homogena system: Linjärt oberoende lösningar Fundamental lösningsmängd. Superposition, till den tillsvarande homogena system
Partikulär losnijng av inhomogena systemet, sammansättning till allmän lösning av det inhomogena systemet..
Linjära med konstana koefficienter
(dvs både linjärt och autonomt):
Lösning det homogena systemet med konstanta koefficienter i fallet med skilda reella egenvärden, eller en full uppsättning av egenvektorer: Vi har bara gjort följande exempel: Löst ZC 8.2.2 men inte visat detta generellt.
Högre ordnings linjär ODE (HL-ODE)
Metoden för reduktion av ordning. Exempel Z.C. 4.2: 11,20
Sett hur HL-ODE kan skrivas som första ordnings System.
Variation av parametrar för system / Högre ordnings ljnär ODE.
Gått igenom Exempel Z.C. 4.6.24 - blev inte helt färdig med denna uppgift: glömde (på tavlan) dividera högerled med x² vid omskrivning till standard form, dv_2/dx och dv_1/dx ska divideras med motvarande faktor dvs. bli 1/x resp. -1/x tan(ln(x)), och integration ger v_2= ln(x) +C_2, resp.
ln(cos(ln(x)))+C_1. Insättning ger den alllmänna lösningen
y(x)=ln(cos(ln(x))) cos(ln(x)) + ln(x) sin(ln(x)) +C_1 cos(ln(x)) + C_2 sin(ln(x)).
SF1633. KS1. Mån 10/9 2012, 0815-0945 .
För CINEK2 & CENMI2: Q11, Q13, Q15, Q17, Q21, Q22, Q24, Q26, Q31, Q33, Q34, Q36.
För CMAST2: M21, M22, M23, M24, M31, M32, M33, M35, M36, M37, M38.
För CDEPR2: L21, L22, L42, L43, L44, L51, L52,
För CBIOT2, CKEMV2&CMATD2: E31, E32, E33, E34, E35, E36, E51, E52, E53
För övriga: F1.
Tillåtet hjälpmedel är BETA.
Vi börjar med MODUL 2.
Högre ordnings linjär ODE. Begynnelse värdeproblem. Randvärdesproblem. Existens och entydighets sats.
Linjärt oberoende lösningar, Fundamental lösningsmängd till den tillsvarande homogena ODE. Partikulärlösning, Allmän lösning .
Vi såg lite på KS1 september 2011.
Modellering av diff.ekvationer.
1. Linjära modeller:
Diskutertat kring "bakteriell tillväxt " löst Z.C.3.1.4.
Diskuterat kring "uppvämingsproblem" löst Z.C.3.1.14.
Diskuterat kring "tankproblemen" löst Z.C.3.1.21.
Icke-injära modeller:
Diskutera kring "logostikproblem - tillväkt med resursbegänsing" löst Z.C.3.2.3. ( slutet b)-delen endast skisserade )
Distkutera modeller med system av diff. ekvationer.
Rovdjur och villebråd, Elektriska kretsar.
Nästa föreläsning kommer att behandla modul 2, men ev. någon tid kommer att ägnas till att se på KS1 från föregående år
Sammanfattning: Första ordnings separabel ODE
Sammanfattning: Första ordnings linjär ODE
Lösng av vissa ODE med substitutionsmedoder:
a) Bernoulli's diff. ekvation, substitutionen u= y^(1-n):
Löst Z.2.5.16 .
I samband med denna övning diskuterades lösning av Första ordings linjär ODE, och metoden med integrerande faktor.
(Hann inte med på föreläsningen:: Homogena diff. ekvationer. Substitution u= y/x.)
Autonoma differentialekvationer. Stationära lösningar (jämviktspunkter),
stabila, icke-stabila och halv-stabila stationära lösningar
teckenstudium av högerled, fasportätt, skiss av lösning.
Exempel 1: dy/dx = y(4-y^2)., finn stationära lösningar och bestäm deras stabilitet.
Exempel 2 dy/dx=y*2-y. finn stationära lösningar och bestäm deras stabilitet, finn dessutom existens intervallet för lösning med startvärde y(0)=2:
Begynnelsevärdeproblemet av första ordndingens ODE. Existens och entydighetssatsen. Största intervall för existens, största intervall Exempel icke-linjaära diff. ekvationer:
dy/dx= kvadratrot(y). har inte entydig lösning do y=0.
dy/dx= 2xy^2 med y(0)=1 har lösning som exploderar i ändlig tid:
(i ovanstående exempel visat lösningar genom verifiering)
Visat lösningsmetoden för separabla differentialekvationer
Linjära ODE av första ordningen
Löst motsvarande homogena differetial-ekvation,
genom att göra om den till en separabel diff.ekv.
Lösning av den första orndingems ODE med integrerande faktor 1/y_h där y_h är lösning till den homogena diffekvationen. (Exempel x dy/dx + y =1 med startvillkor y(1)=1.
De föreläsningesanteckningar som inte kunde visas med
dokumentkamera finns här.
Presentation av kursen och dess innehåll.
Redogjort för kursupplägg och examination
Visat till informationen på kursens Web-sida.
Introducerat några befolkningsmodeller och diskuterat modellernas lämplighet.
De två modellerna är:
a) Relativa tillväxthastigheten konstant.
b) Ändrat modell a genom att ta hänsyn till brist på resurser.
Genomfört kvalitativ analys på dessa exempel.
Ställt upp differentialekvation för tankproblem, motsv. uppgift Z.C.1.3.10.
Börjat diskutera villkor på Diff.ekv. för existens och entydighet av lösning,. fortsätter detta med exempel nästa föreläsning.
Terminsregistring göres på Mina Sidor senast den 30 augusti 2012.
Glöm ej anmäla Dig på Mina Sidor till Tentamen. Anmälningstiden är från den 10 september, 2012 till och med den 30 september, kl 2400.
Kursens hemsidor är under uppbyggnad.
Nu är de flesta sidorna utlagda. Dock kan det ske smärre justeringar fram till kursstart.
Studenter från CDEPR2 och CMAST2, för vilka kursen valts,
hälsas välkomna till kursen SF1633, Differentialekvationer I.
Titta gärna i förväg på kapitel 1-3 i Zill-Cullen.
Detta innebär i detta fall att envariabel, flervariabel och linjär algebra behärskas.
Ett nätbaserat stöd finns under följande länkar:
För mer grundläggande finns KTH:s Sommarmatematik.
För envariabel finns SF1643, Tal och funktioner och SF1644, Analys i en variabel .
För linjär algebra finns SF1645, Linjär algebra .
Då det gäller linjär algebra och differentialdelen i flervariabelanalys finns 5B1116, Matematik II.
