KTH Matematik
| Rekommenderade uppgifter | Inlämningsuppgifter |Matematikjour | Tentamensanmälan | Extentor |
| Resultat |
SF1633, Differentialekvationer I, 2012.2013.
Nyheter för CINEK2 och CENMI2 hösten 2012.
Nu finns resultatet på kompletteringsskrivningen den 5 februari 2013 tillgängligt via länken SF1633.20130205. Resultatet finns även tillgängligt under Resultat
Skrivningarna finns att hämta på studentexpeditionen.
Nu finns resultatet på tentamensskrivningen den 8 januari 2013 tillgängligt
via länken Resultat eller direkt SF1633.20130108.
Skrivningarna finns att hämta på studentexpeditionen.
Nu finns resultatet på kompletteringsskrivningen den 12 november 2012 tillgängligt via länken SF1633.20121112. Resultatet finns även tillgängligt under Resultat
Skrivningarna finns att hämta på studentexpeditionen.
Nu finns lösningsförslag till dagens tentamen.
Den nås via länken
SF1633.Extentor eller direkt 20121112.TextSvar.
Nu finns resultatet på tentamensskrivningen den 15 oktober 2012 tillgängligt
via länken Resultat eller direkt SF1633.20121015.
Skrivningarna finns att hämta på studentexpeditionen.
De som erhållit 2 godkända moduler får möjlighet att komplettera till godkänt betyg
måndagen den 12 november 2012.
Skrivtiden är 1730-1900. Man sitter hela skrivtiden.
Resultatet av KS2 finns nu tillgängligt under Resultat eller direkt KS2 .
Kontrollskrivningarna, KS2, kommer imorgon att finns nu på teknologexpeditionen.
Kontrollera att resultatet stämmer.
SPARA KONTROLLSKRIVNINGARNA TILLS RESULTATET PÅ KURSEN ÄR RAPPORTERAT I LADOK.
Visat att laplacetransformen för en styckvis kontinuerlig funktion av exponentiell ordning
går mot noll då s går mot oändligheten.
Bestämt den lösning till differentialekvationen diff(y(t),tt)+t*diff(y(t),t)-y(t)=0
som uppfyller villkoren y(0)=0 och diff(y(t),t)(0)=1.
Visat laplacetransformen av faltningsintegralen.
Löst uppgift Z.C.7.6.6.
Löst uppgifterna Z.C.7.3.42., Z.C.7.4.36. och Z.C.7.4.14.
Visat att en styckvis kontinuerlig funktion av exponentiell ordning har laplacetransform.
Visat laplacetransformen för periodiska funktioner.
Löst uppgift Z.C.7.4.26.
Genomgång av laplacetransformen för t^n*f(t).
Bestämt laplacetransformen för följande funktioner:
f(t)=cos(at), f(t)=sin(at), f(t)=t och f(t)=t^2.
Diskuterat faltningsintegralen och dess laplacetransform.
Löst uppgifterna Z.C.7.1.32., Z.C.7.2.8, Z.C.7.2.16., Z.C.7.2.34., Z.C.7.3.16. och Z.C.7.5.6.
OBS !
GLÖM INTE TENTAMENSANMÄLAN !
Anmälningstiden är till och med den 30 september 2012 kl 2400 .
OBS !
Introduktion av integraltransformer, Laplacetransformer och Fouriertransformer.
Definierat laplacetransformen.
Presenterat laplacetransformens ideer.
Bestämt laplacetransformen för följande funktioner:
f(t)=0, f(t)=1, f(t)=exp(at)
Visat laplacetransformen för funktionen f(t)*exp(at).
Visat laplacetransformen för första och andra derivatorna.
Definierat Heavisides stegfunktion U(t-a) och bestämt dess Laplacetransform.
Visat laplacetransformen för funktionen f(t-a)U(t-a).
Skisserat funktionerna f(t), f(t)U(t-a) och f(t-a)U(t-a).
Bestämt laplacetransformen för funktionen fa(t)=(1/(2*a))*(U(t-(t0-a))-U(t-(t0+a))).
Genomfört gränsövergång då a går mot noll.
Därvid har vi erhållit laplacetransformen för Diracs deltafunktion.
Repetition av fourierserier.
Särskilt har udda och jämna funktioner betraktats.
Konvergensförhållandena för fourierserier har diskuterats.
Löst uppgift Z.C.11.2.7. och kommenterat Gibbs fenomen.
Slutfört uppgift Z.C.12.3.3.
Löst uppgifterna Z.C.11.2.19, Z.C.11.3.28.
Nu finns dagens KS tillgänglig KS2.
Bestämt produktlösningar till värmeledningsekvationen med hjälp av variabelseparationsmetoden. Uppgift Z.C.12.3.3.
Vidare har de lösningar som uppfyller randvillkoren bestämts.
Slutligen har begynnelsevillkoret använts.
Detta har lett till att en funktion skall uttryckas med hjälp av konstantterm och cosinustermer.
Detta ger oss anledning att studera trigonometriska fourierserier.
Definierat inre produkt. Visat ortogonalrelationerna.
Visat att funktionsföljden
{1, cos(Pix/p), cos(2Pix/p),...., cos(mPix/p),..., sin(Pix/p) , sin(2Pix/p), ....,sin(nPix/p), .... }
är ortogonal på intervallet (-p,p).
Definierat trigonometriska fourierserier.
Bestämt fourierkoefficienterna.
Resultatet av KS1 finns nu tillgängligt under KS1 .
SPARA KONTROLLSKRIVNINGARNA TILLS RESULTATET PÅ KURSEN ÄR RAPPORTERAT I LADOK.
OBS ! Tentamensanmälan. OBS !
SF1633. KS2. Mån 24/9 2012, 0815-0945 .
För CINEK2 & CENMI2: Q11, Q13, Q15, Q17, Q21, Q22, Q24, Q26, Q31, Q33, Q34, Q36.
För CMAST2: M21, M22, M23, M24, M31, M32, M33, M35, M36, M37, M38.
För CDEPR2: L21, L22, L42, L43, L44, L51, L52.
För CBIOT2, CKEMV2&CMATD2 samt övriga: E31, E32, E33, E34, E35, E36, E51, E52, E53.
Tillåtet hjälpmedel är BETA.
KOM I GOD TID !
Påbörjat avsnittet med partiella differentialekvationer.
Introduktion av partiella differentialekvationer.
Infört variabelseparationsmetoden.
Löst följande partiella differentialekvation:
diff(u(x,y),x)=u(x,y)+diff(u(x,y),y)
med villkoret u(x,0)=5*exp(-3*x)-4*exp(x).
Använt variabelseparationsmetoden på vågekvationen.
De tre skilda fallen har undersökts.
Anpassat lösningarna till vågekvationen till randvillkoren u(0,t)=u(L,t)=0.
Anpassat dessa lösningar till begynnelsevillkoren:
Härvid har ett problem uppstått.
Nämnligen att uttrycka en funktion med hjälp av sinustermer.
Stabilitetsundersökning av icke-linjära system av autonoma differentialekvationer.
Taylorutveckling användes för linjarisering.
Löst uppgift Z.C.10.3.18.
Löst uppgift Z.C.10.3.30.
Uppgifterna löstes genom att linjarisera det icke-linjära systemet
Fasplanemetoden tillämpades på en del av uppgift Z.C.10.3.30.
Fasplanemetoden tillämpades på uppgift Z.C.10.3.33.
Introduktion av autonoma system och stabilitet.
Diskuterat olkia lösningstyper: stationär punkt, båge och periodisk lösning.
Villkor för entydig stationär punkt.
Klassificerat de olika typerna av punkter:
stabil nod, instabil nod, sadelpunkt, degenererad stabil nod, degenererad instabil nod, stabil spiralpunkt, instabil spiralpunkt och centrum.
Sammanfattning angående stabilitet för linjära system med utgångspunkt från egenvärden.
Löst uppgifterna Z.C.10.1.16, Z.C.10.2.11 och Z.C.10.2.18.
c) Komplexa egenvärden.
Löst uppgift Z.C.8.2.36.
Genomfört metoden "variation av parametrar på systemet av
linjära differentialekvationer. diff(X,t)=A(t)
Detta skedde med hjälp av allmänna homogena lösningen.
Löst uppgiften Z.C.8.3.13.
Genomgång av allmänna homogena lösningen till det homogena systemet.
Genomgång av fallen med
a) Skilda reella egenvärden.
b) Upprepade reella egenvärden.
Löst uppgifterna Z.C.8.2.2., Z.C.8.2.19.
Nu är det möjligt att anmäla sig till tentamen.
Anmälningstiden är mellan den 10 september 2012 till och med den 30 september 2012 kl 2400 .
Nu finns dagens KS tillgänglig KS1.
Infört Wronskianen, Wronskideterminanten.
Redogjort för kopplingen mellan Wronskianen och linjärt oberoende lösningar.
Beskrivit lösningsstrukturen för linjära differentialekvationer.
Metoden "variation av parameter" visades och skrevs på matrisform..
Bestämt lösningarna till systemet:
diff(x(t),t)=a*x(t)
diff(y(t),t)=b*y(t)
Både ekvationerna och lösningarna har presenterats på matrisform.
Vidare har egenvärden och egenvektorer bestämts till systemets matris.
Omformat differentialekvationen diff(y(x),xx)+y(x)=0 till ett linjärt system av första ordningen.
Bestämt egenvärdena och tillhörande egenvektorer till systemets matris.
Vidare har en komplex lösning till systemet bestämts.
Utifrån denna har två linjärt oberoende lösningar bestämts.
Konstaterat att karakteristiska rötterna till differentialekvationen och egenvärdena är identiska.
Presenterat teorin för lösningarnas uppbyggnad.
Inlämningsuppgiften finns tillgänglig.
Se under länken INL1.
Repetition av måndagens föreläsning.
Lösning av system av linjära första ordningens ODE med hjälp av egenvärden och egenvektorer presenterades.
Beskrivit lösningsstrukturen för system av linjära differentialekvationer.
Variation av parametrar introducerades för system.
Diskuterat plana autonoma system samt berört linjarisering av
systemet diffX(t),t)=g(X) med hjälp av Taylorutveckling.
Entydigheten för begynnelsevärdesproblem-
Berört randvärdesproblem och därvid även löst uppgift Z.C.4.1.13.
Diskuterat linjärt beroende/oberoende och infört begreppet fundamentallösningar.
Motivering till metoden "reduktion av ordning".
SF1633. KS1. Mån 10/9 2012, 0815-0945 .
För CINEK2 & CENMI2: Q11, Q13, Q15, Q17, Q21, Q22, Q24, Q26, Q31, Q33, Q34, Q36.
För CMAST2: M21, M22, M23, M24, M31, M32, M33, M35, M36, M37, M38.
För CDEPR2: L21, L22, L42, L43, L44, L51, L52,
För CBIOT2, CKEMV2&CMATD2: E31, E32, E33, E34, E35, E36, E51, E52, E53
För övriga: F1.
Tillåtet hjälpmedel är BETA.
KOM I GOD TID !
Kort översikt av modul 2.
Linjära egenskapen diskuterades.
Metoderna "reduktion av ordning" och "variation av parameter" diskuterades.
Bestämt fundamentalmängd av lösningar till ekvationen
x*(diff(y(x),xx)-2*diff(y(x),x)+y(x))=0, x>0.
Vidare har allmänna lösningen till ekvationen
x*(diff(y(x),xx)-2*diff(y(x),x)+y(x))=exp(x), x>0 bestämts. Härvid har metoden "reduktion av ordning" används.
Även metoden "variation av parameter" användes som alternativ lösningsmetod.
Löst Z.C.2.2.24. med hjäp av entydighetssatsen.
Löst Z.C.3.2.5. fiskepopulationsmodell.
Diskuterat kring "tankproblemet" Z.C.3.3.7.
Kvalitativ behandling av Z.C.3.3.8.
Löst uppgift Z.C.3.1.14. ( Newtons avsvalningslag)
Nästa föreläsning kommer att behandla modul 2.
Löst diff.ekv.: x*diff(y(x),x)-2*y(x)=x^3 med hjälp av integrerande faktor.
Uppgiften löstes även med ansatsen y(x)=z(x)*x^2.
där x^2 är lösning till den homogena ekvationen x*diff(y(x),x)-2*y(x)=0.
Löst Z.C.2.1.17.
Linjära av första ordningen
Bestämt allmänna lösningen med hjälp av variation av parameter.
Detta innebär att den allmänna homogena lösningen bestämdes först.
Därefter ersattes den godtyckliga konstanten i den homogena lösningen med en funkton av x.
Insättning i den inhomogena diff.ekv. ger allmänna lösningen.
Diskuterat och löst följande "modelluppgifter":
Z.C.3.1.4. Bakteriell tillväxt.
Z.C.3.1.21.Tankproblem.
Kort sammanfattning av fredagens föreläsning.
Genomgång av Bernoullska differentialekvationer.
Löst diff.ekv.: diff(x(t),t))=x^2-x.
Uppgiften har lösts som Bernoullsk och även som separabel.
Stationära lösningar och stabilitet/instabilitet har studerats.
Vidare har existensintervallet till begynnelsevärdesproblemet diff(x(t),t))=x^2-x, x(0)=2 bestämts
Även existensintervallet till begynnelsevärdesproblemet diff(x(t),t))=x^2-x, x(0)=1/2 bestämts
Strukturen hos linjära differentialekvationer har diskuterats.
Presentation av kursen och dess innehåll.
Redogjort för kursupplägg och examination.
Introducerat några befolkningsmodeller och diskuterat modellernas lämplighet.
De tre modellerna är:
a) Relativa tillväxthastigheten konstant.
b) Ändrat modell a) genom att ta hänsyn till brist på resurser.
c) Ändrat modell b genom att ta hänsyn till utflyttning.
Genomfört kvalitativ analys på dessa exempel.
Löst uppgift Z.C.1.3.10.
Diskuterat riktningsfält för differentialekvationen: diff(y(x),x)=-x/y.
Bestämt dess lösning.
Visat lösningsmetoden för separabla differentialekvationer och för linjära av första ordningen.
Diff.ekv. med homogent högerled har överförts till separabel diff.ekv.
Anmälningstiden till tentamen är från den 10 september 2012 till och med
den 30 september 2012 kl 2400.
Kursens hemsidor är under uppbyggnad.
Nu är de flesta sidorna utlagda. Dock kan det ske smärre justeringar fram till kursstart.
Studenter från CINEK2 och CENMI2, för vilka kursen valts,
hälsas välkomna till kursen SF1633, Differentialekvationer I.
Titta gärna i förväg på kapitel 1-3 i Zill-Cullen.
Detta innebär i detta fall att envariabel, flervariabel och linjär algebra behärskas.
Ett nätbaserat stöd finns under följande länkar:
För mer grundläggande finns KTH:s Sommarmatematik.
För envariabel finns SF1643, Tal och funktioner och SF1644, Analys i en variabel .
För linjär algebra finns SF1645, Linjär algebra .
Då det gäller linjär algebra och differentialdelen i flervariabelanalys finns 5B1116, Matematik II.
