KTH
Matematik
| Moduler | Timplan | OH.BILDER | Tentamensanmälan | Kursutvärdering | Extentor | Resultat |
5B1210, Matematik IV, 2003.2004.
Nyheter för Bio2 och K2 hösten 2003.
Nu är resultatet klart på omtentan den 13 januari 2004.
Resultatet kan ses under respektive kod under: Tentamensresultat.
Nu är resultatet klart på den tredelade tentamina.
Resultatet kan ses under respektive kod under: Tentamensresultat.
Skrivningarna finns tillgängliga på matematiks studentexpedition från och med måndag.
Revidering av kraven för godkänt.
6 eller fler godkända moduler ger betyg 3.
Tentamenssalar för Bio och K är : Q32-34.
Detta gäller de som har följt kursen.
Del 3 på tentamen äger rum lördagen den 8 november 2003, kl 09.00.-14.00.
Modulresultat inklusive del1.
LS7.
Genomgång av LS7.version A.
Angett stabilitetskriterium för linjära system.
Infört begreppen: asymptotiskt stabil punkt, symptotiskt stabil punkt och instabil punkt.
Taylorutvecklat den autonoma ekvationen: diff(x(t),t)=g(x) kring den kritiska punkten x=x1.
Därmed erhölls den linjariserade ekvationen: diff(x(t),t)=diff(g(x),x)*(x-x1).
Studerat stabiliteten. Löst 10.3.3.
Genomfört motsvarande för system av differentialekvationer.
Gjort en jämförelse mellan det icke-linjära systemet och det linjariserade systemet med avseende på det geometriska beteendet.
Nämnt fasplanmetoden.
Löst uppgifterna 10.1.6., 10.1.16., 10.2.4. och 10.2.11.
I uppgift 10.1.16. diskuterades även fasporträttet kring den kritiska punkten (0,0).
Den kritiska punkten är en sadelpunkt.
I uppgift 10.2.4. utnyttjades även information från systemet diff(X(t),t)=(-1 -4; 1 -1)X(t) till att beräkna tangentvektorn i punkten (1,1).
Denna blir (-5,0), dvs riktad i negativa x-axelns riktning.
Bestämt en fundamentalmatris till uppgift 8.3.20.
Presentation av kapitel 10.
Redogjort för begrepp såsom: autonomt system, stationär punkt, båge och periodisk lösning.
Diskuterat lösningarnas uppförande för fallen med skilda reella egenvärden, upprepade reella egenvärden och komplexa egenvärden.
Illustrerat fasporträtten för ovanstående.
Löst uppgifterna 8.2.2., 8.2.19. och 8.2.36.
Genomgång av variation av parametrar för system av differentialekvationer.
Löst uppgift 8.3.13.
Nästa LS omfattar kapitel 8.
LS6.
Genomgång av LS6.version B.
Introduktion av linjära första ordningens ODE.
Diskuterat begrepp såsom fundamentallösningar och fundamentalmatris.
Genomgång av lösningarna till det homogena systemet diff(X(t),t)=AX(t).
Behandlat fallen med skilda reella egenvärden, upprepade reella egenvärden och komplexa egenvärden.
Bestämt allmänna lösningen till systemet diff(X(t),t)=AX(t) där A=( 1, 0 ; 0, -2).
Studerat en korksmulas vidare öden i detta system.
Nästa LS omfattar kapitel 8.
Genomgång av reduktion av ordning.
Variation av parametrar.
Löst uppgift 4.6.24.
Vidare har följande uppgift lösts:
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Funktionerna y1(x)=x, y2(x)=x*lnx, y3(x)=5*x, y4(x)=x^2 och y5(x)=x+x^2 är lösningar till en linjär tredje ordningens homogen differentialekvation.
Bestäm en fundamentalmängd av lösningar till differentialekvationen.
Bestäm även den lösning som uppfyller villkoren: y(1)=3, diff(y(x),x)=2 för x=1 och diff(y(x),xx)=1 för x=1.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
LS6 omfattar avsnitten 4.1. och 4.2.
Presentation av begrepp såsom: differentialoperator, linjärt oberoende, Wronskian, fundamentallösningar och allmänna lösningar.
Belyst dessa begrepp med exemplet: diff(y(x),xx)-2*diff(y(x),x)+y(x)=0.
Detta exempel har lösts med hjälp av reduktion av ordning.
Vidare har uppgiften diff(y(x),xx)-2*diff(y(x),x)+y(x)=4*exp(x) lösts samma metod.
Vidare har följande uppgift lösts:
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
En lösning till differentialekvationen x*diff(y(x),xx)-2*(x+1)*diff(y(x),x)+(x+2)*y(x)=0, x>0,
ges av y1(x)=exp(x).
Bestäm en annan lösning y2(x) som är linjärt oberoende av y1(x).
Det linjära oberoendet skall verifieras. Ange också den allmänna lösningen.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
LS6 omfattar avsnitten 4.1. och 4.2.
Härlett Laplacetransformen av (exp(a*t))*f(t).
Angett faltning och dess Laplacetransformation.
Härlett Laplacetransformen av (f(t-a)*U(t-a)).
Härlett Laplacetransformen av Diracs deltafunktion.
Löst uppgifterna 7.3.42., 7.4.36. och 7.5.6.
Imorgon börjar vi med kapitel 4.
LS5.
Genomgång av LS5.version B.
Introducerat integraltransformer: Fouriertransformer och Laplacetransformer.
Diskuterat Laplace-transformationens tankegångar.
Angett definitionen och härlett utgående från denna transformationen för:
första och andra derivatan, 0, 1, exp(a*t), cos(a*t) och sin(a*t).
Löst uppgift 7.2.34.
Definierat Heavisides stegfunktion. Angett laplacetransformationen för f(t-a)*U(t-a).
Illustrerat grafiskt f(t)*U(t-a) och f(t-a)*U(t-a).
Introducerat pulser i form av rektangulära områden, vars bas går mot noll, men med en bibehållen area lika med ett.
Nu finns inlämningsuppgift 1 tillgänglig här.
Löst uppgift 1.2.12.
Redogjort för entydighetssatsen för begynnelsevärdesproblemet diff(y(x),x)=f(x,y), y(x0)=y0.
Använt variation av parameter för att härleda en partikulärlösning till diff(y(x),x)+P(x)*y(x)=f(x).
Repetition av de fyra olika differentialekvationerna.
Löst uppgift 2.5.6.
Modellerat uppgifterna 3.1.14, 3.2.15.a,c och 3.3.8.
LS4 omfattar kapitlena 1, 2 och 3.
Här lägges stor vikt vid modellering, lösning av uppställd differentialekvation samt rimlighetskontroll av svaret.
LS4 äger rum i följande salar:
K2 : Sal K1.
Bio 2 & Övriga: Sal D1.
Genomgång av riktningsfält.
Uppritat riktningsfält till differentialekvationen: diff(y(x),x)=-x/y.
Dessutom löst differentialekvationen analytiskt.
Introducerat begrepp som: fasporträtt, attraktor, repellator och autonom differentialekvation.
Löst uppgift 1.1.47.
Modellerat uppgift 1.3.15. samt bestämt sluthastigheten.
Behandlat substitutioner: Bernoullska diff.ekv. och diff.ekv. med homogent högerled.
Löst uppgift 2.5.16.
Presentation av modul 5:
Introduktion till differentialekvationer.
Första ordningens ODE.
Modeller med första ordningens ODE.
Löst uppgift 1.3.10. och därmed kommit i kontakt med
Linjära differentialekvationer av första ordningen.
Presenterat lösningsmetoden för dessa.
Löst diff.ekv.: x*diff(y(x),x)-y(xc)=x^2, x>0.
Diskuterat olika befolkningsmodeller.
Modell 1: Relativa tillväxthastigheten lika med en konstant.
Modell 2: Relativa tillväxthastigheten lika med en konstant minus konstant gånger befolkningsmängden.
Modell 2 gav upphov till en ny typ av differentialekvation.
Presenterat lösningsmetoden för separabla differentialekvationer.
Löst uppgift 2.2.24.
LS4 omfattar modul 5.
Del 3 på tentamen äger rum lördagen den 8 november 2003, kl 09.00.-14.00.
LS3.
Genomgång av LS3.version B.
Löst uppgifterna 12.3.3 och 12.3.4.
Studerat det kvalitativa beteendet hos differentialekvationen: diff(y(x),x)=y(x)-1.
Definierat Fourierserie.
Bestämt Fourierseriens koefficienter.
Behandlat jämna och udda funktioners utvecklingar.
Angett konvergensvillkor.
Löst uppgifterna 11.2.7, 11.2.19 och 11.3.28.
Visat grafen för partialsummor och den givna funktionen i samma bild.
Illustrerat Gibbs fenomen.
LS3 omfattar avsnitt 12.1, variabelseparation.
Se även gårdagens exempel av första ordningen.
Bestämt den lösning till den partiella differentialekvationen diff(u(t,y),t)=diff(u(t,y),y)-u(t,y)
som uppfyller villkoret: u(t,0)=3exp(-5t)-7exp(2t)+13exp(t).
Introduktion av ortogonala funktioner.
Visat ortogonalrelationerna.
Presenterat trigonometrisk serie.
LS3 omfattar avsnitt 12.1, variabelseparation.
Visat diffusionsekvationen utgående från kontinuitetsekvationen.
Introducerat variabelseparationsmetoden för partiella differentialekvationer.
Löst uppgifterna 12.1.1, 12.1.16 och vågekvationen.
LS2.
Genomgång av LS2.versionA.
Löst uppgifterna 11.1.i, 11.7.b och 11.7.g.
Behandlat kontinuitetsekvationen.
Behandlat följande problem:
Exempel 1: Beräkna linjeintegralen över C av [1/x^2*ln(xy) dx-1/xy dy],
där C är bågen av parabeln 5y=x^2+4 från punkten (1,1) till punkten (4,4).
Exempel 2: Beräkna linjeintegralen över C av [(exp(x+y)-y) dx+(exp(x+y)-1) dy],
där C är halvcirkelbågen från punkten (0,0) till punkten (1,0) i övre halvplanet.
Exempel 3: Beräkna U(x,y) då dU=(2xy-x^2) dx + (x^2+y^2) dy och U(0,0)=1.
Presentation av ytintegraler(flödesintegraler).
Löst uppgift 11.1.a.
Introducerat divergenssatsen och diskuterat medelutflödet.
LS2 omfattar kapitel 10, linjeintegraler i planet.
LS2 äger rum i föreläsningssalen F1.
Tid: 10.15-10.45.
Tillåtet hjälpmedel är: BETA, Mathematics Handbook.
Medtag legimitation.
Löst uppgifterna: 1010 och 1016.
LS2 omfattar kapitel 10, linjeintegraler i planet.
LS2 äger rum i föreläsningssalen F1.
Tid: 10.15-10.45.
Tillåtet hjälpmedel är: BETA, Mathematics Handbook.
Medtag legimitation.
Löst uppgifterna 937.l. och 940.
Definierat linjeintegraler samt motiverat beräkningsformeln.
Löst uppgift 1002.
Greens formel med bevis för enkelt område.
LS1.
Genomgång av LS1.versionA.
Behandlat arean av buktiga ytor.
Dels för parameterframställda ytor via definitionen, dels via projektion av ytelement på xy-planet.
Löst uppgifterna 932.a och k, 934.
Volymselement för sfäriskt polära koordinater.
Löst uppgifterna: 916.e., 919a+b, 921.g och 927.m.
LS1 omfattar följande avsnitt:
Dubbelintegraler.
Substitutioner i multpelintegraler.
Volymer.
LS1 äger rum i föreläsningssalen F1.
Tid: 10.15-10.40.
Tillåtet hjälpmedel är: BETA, Mathematics Handbook.
Medtag legimitation.
Dubbelintegralens egenskaper.
Medelvärdessatsen.
Motivering av substitutioner vid dubbelintegraler.
Figurer se E.P.: sid 223 och 227.
Löst uppgift 911.
Presentation av kursinnehåll och kursupplägg.
Genomgång av:
Riemannsummor till f(x,y).
Dubbelintegral över axelparallella rektanglar.Måttet noll.
Existens av Riemann-integraler.
Dubbelintegraler över godtyckliga begränsade områden.
Beräkning av dubbelintegraler.
Löst uppgifterna: 903a,c;907f.
Första föreläsningen är måndagen den 1 september 2003, klockan 10.15 i sal F1.
En god förberedelse är att skumma igenom det första kapitlet, kap 9.
För lyckosamma studier i Matematik IV är det av stor vikt att de tidigare kurserna i matematik (Matematik I och Matematik II) är väl inhämtade.
