KTH
Matematik
|Matematikjour | OH.BILDER | Tentamensanmälan | Kursutvärdering | Extentor | Resultat |
| Inlämningsuppgifter |
5B1210, Matematik IV, 2005.2006.
Nyheter för Bio2 och K2 hösten 2005.
23 januari 2006.
Skrivningarna återfås på expeditionen.
De tre personer som erhållit 13 respektive 14 poäng ombedes kontakta kursledaren.
23 november 2005.
Skrivningarna återfås på expeditionen.
11 november 2005.
Skrivningarna från den 31 oktober 2005 kommer att finnas på expeditionen från och med nästa vecka.
7 november 2005.
Den avser kompletteringen fredagen den 11 november 2005, kl 1200-1500.
2 november 2005, kväll.
Möjlighet till komplettering till betyget godkänt ges de som erhållit 3 eller 4 godkända moduler.
Kodformad placeringslista kommer att finns under nyheter. Det dröjer någon dag.
Tidpunkt för komplettering:
Fredagen den 11 november 2005, kl 1200-1500.
Kompletteringen är öppen för de som har 3 eller 4 godkända moduler.
Kompletteringen är skriftlig.
31 oktober 2005, kväll.
31 oktober 2005.
26 oktober 2005.
24 oktober 2005.
Jag har för tillfället skrivningarna på mitt kontor, men kommer under dagen att lämna dessa till expeditionen.
23 oktober 2005.
21 oktober 2005.
Löst följande uppgifter:
Ex1.Bestämt stationära punkter och klassificierat dessa med avssende på stabilitet och typ för systemet diff(X=(x+xy; 4y-2xy) .
Ex2.Löst differentialekvationen x*diff(y(x),xx)-2*(x+1)*diff(y(x),x)+(x+2)*y=0 , x>0.
En lösning y1(x)=exp(x) är känd. Vidare har det linjära oberoendet undersökts.
Ex3.Kvalitativ analys av differentialekvationen diff(y(x),x)=(y+1)(y-1)(y-2).
Undersökt stabilitet för jämviktspunkterna.
Ex4.Studera ett tankproblem med två tankar. Tankarnas vätskevolym var konstant.
Uppställt systemet av differentialekvationer.
Även har ett problem där vätskervolymen varierat med tiden behandlats.
20 oktober 2005.
LS3.Svar.
LS4.Svar.
19 oktober 2005.
Placeringslista.LS3 ochLS4.
OBS !
TENTAMENSANMÄLAN VIA "Mina sidor"
SENAST MÅNDAGEN DEN 24 OKTOBER 2005.
Se Tentamensanmälan
OBS !
Följande uppgifter löstes:
Ex1. int{int{f(x,y)}dy; y:1-x^2-->exp(x)}dx; x:0-->2}}
Kasta om integrationsordningen.
Ex2.
Beräkna int{int{(x/sqrt(x^2+y^2))*exp(x^2+y^2)}dxdy; D} där
D={(x,y): 1 ≤ x^2+y^2 ≤ 4, x ≥ abs(y)}
Ex3.
Beräkna int{int{(x^2+y^2)}dxdy; D} där D är området i första kvadranten som begränsas av hyperblerna xy=1, xy=3, x^2-y^2=1 och x^2-y^2=4.
Ex4.
Beräkna volymen av det ändliga område som begränsas av z=x^2+y^2 och z=y.
Ex5.
Beräkna arean av den del av sfären x^2+y^2+z^2=R^2 som ligger inom cylindern x^2+y^2=R*x.
18 oktober 2005.
Placeringslista.LS3 ochLS4.
17 oktober 2005.
Löst uppgift E.P.11.1.g.,E.P.11.1.i., E.P.11.7.g. och E.P.11.8.
Visat Laplacetranstransformen för faltningen av två funktioner.
Här kommer omkastning av integrationsordningen samt substitution in.
14 oktober 2005.
I det senare fallet uppträdde två fall.
De erhållna funktioner är gradient, divergens respektive rotation.
Visat divergenssatsen samt diskuterat medelutflödet.
Infört begreppet källdensitet.
Tillämpat divergenssatsen på uppgift E.P.11.7.b.
Visat att Coulombfältet är källfritt, dvs visat att div(r/r^3)=0.
Visat att div(u*F)=gradu*F+udivF.
13 oktober 2005.
Beräknat linjeintegralen av kraftfältet (y/(x^2+y^2), -x/(x^2+y^2)) längs den slutna kurvan, given som randkurvan till kvadraten med hörn i (±R,±R), i positiv led.
Löst uppgift E.P.1027.
Diskuterat yt- och flödesintegraler.
Illustrerat icke-orienterbar yta, "Möbiusband".
Löst uppgift E.P.11.1.a.
12 oktober 2005.
Visat att för konservativa fält gäller att diff(P(x,y),y)=diff(Q(x,y),x).
Definierat enkelt sammanhängande område.
För ett enkelt sammanhängande område där diff(P(x,y),y)=diff(Q(x,y),x) gäller att kraftfältet är konservativt.
Löst uppgift E.P.1016. med hjälp av potential.
OBS !
TENTAMENSANMÄLAN VIA "Mina sidor"
SENAST MÅNDAGEN DEN 24 OKTOBER 2005.
Se Tentamensanmälan
OBS !
10 oktober 2005.
Löst uppgift E.P.1002.
Visat ett samband mellan linjeintegraler och dubbelintegraler: Greens formel i planet.
Löst uppgift E.P.1010. med hjälp av Greens formel.
Diskuterat fall där Greens formel kan användas efter komplettering av kurvor respektive orientering.
Definierat konservativa fält.
7 oktober 2005.
Beräknat arean av en parameterframställd yta, uppgift E.P.932.k.
Undersökt konvergensen hos några generaliserade integraler och beräknat deras värde.
Uppgifterna E.P.937.l. och E.P.939.c. löstes.
Nästa vecka påbörjas "Modul 6".
Denna modul innehåller linje-, yt- och flödesintegraler.
6 oktober 2005.
Behandlade uppgifter: E.P.927.m., E.P.928.a. och E.P.932.a.
Uppgift E.P.932.f. behandlades fram till att en dubbelintegral över ett område i r-teta-planet erhölls.
5 oktober 2005.
Tillämpningar av multipelintegraler; såsom area av plana ytor, volymer samt arean av buktiga ytor.
För arean av buktiga ytor projicerades ett ytelement på ytan på xy-planet och ett samband mellan ytelementet på ytan och ytelementet i xy-planet visades.
Introduktion av sfäriskt polära koordinater.
Visat yt- och volymselement i sfäriskt polära koordinater.
Löst uppgift E.P.926.b.
4 oktober 2005.
3 oktober 2005.
Visat det allmänna fallet med variabelsubstitution i dubbelintegraler, speciellt polära koordinater.
Löst uppgifterna E.P.919.a. och E.P.921.e.
OBS ! Denna vecka redovisas INL2 !
2 oktober 2005.
30 september 2005.
Genomgång av ideerna kring multipelintegraler, speciellt dubbelintgraler.
Existens av dubbelintegraler över axelparallell rektangel samt integration över godtyckliga begränsade områden.
Löst uppgifterna 903.a. och 908.g.
Uppritning av aktuella områden samt illustration av hur olika integrationsstarter påverkar gränserna.
29 september 2005.
Imorgon, fredag, börjar vi med nästa modul dvs multipelintgraler.
28 september 2005.
Återvänt till uppgift Z.C.12.4.1.
Uttryckt den återstående koefficientuppsättningen med hjälp av en bestämd integral.
27 september 2005.
26 september 2005.
Visat ortogonalrelationerna.
Angett Fourierserien för en funktion definierad på intervallet (-p,p).
Bestämt samband mellan funktion och Fourierkoefficienter.
Fourierserier för jämna och udda funktioner.
Konvergensvillkor för Fourierserier.
Löst uppgifterna Z.C.11.2.7. och Z.C.11.2.19.
Observera nästa LS, kap: 4, 8 och 10.
Tisdagen den 27 sep 2005.
Tiden är 11.00.-12.00.
Extrasal för de som inte går på Bio eller K är L21, där finns 38 platser.
23 september 2005.
Introduktion av partiella differentialekvationer.
Löst den partiella differentialekvationen diff(u(x,y),x)=0.
Genomgång av variabelseparationsmetoden.
Löst uppgift Z.C.12.4.1. fram till bestämning av de konstanter som uppträder vid införandet av begynnelsevillkoren.
Här dök det upp problem med att uttrycka ett andragradspolynom med hjälp av sinusfunktioner.
En introduktion av trigonometriska serier är nödvändig.
Löst uppgift Z.C.12.1.1. med tillägget av två villkor.
a) u(x,0)=5*exp(3*x)
b) u(x,0)=7*exp(2*x)-4*exp(-4*x).
Tidpunkt för komplettering:
Fredagen den 11 november 2005, kl 1200-1500.
Kompletteringen är öppen för de som har 3 eller 4 godkända moduler.
Kompletteringen är skriftlig.
22 september 2005.
Efter denna translation delades det nya systemet upp i en linjär del och en rest.
I den linjära delen uppenbarade sig JAcobimatrisen.
Ritade även fasporträttet för det linjariserade systemet.
Nämnt fas-plan-metoden.
Kort sammanfattning av kapitel 4,8 och 10.
Löst en uppgift med reduktion av ordning.
Löst en uppgift med variation av parametrar för ett system.
Observera nästa LS, kap: 4, 8 och 10.
Tisdagen den 27 sep 2005.
21 september 2005.
Löst uppgift Z.C.10.2.18.
Linjarisering av icke-linjära ekvationer och system.
Visat stabilitetskriteriet för den autonoma differentialekvationen diff(x,t)=g(x).
Betraktat det icke-linjära systemet diff(X,t)=g(X).
Linjariserat detta system med hjälp av Taylorutveckling.
Angett ett stabilitetskriterium för det icke-linjära systemet.
Samma geometriska beteende för det linjariserade och det icke-linjära sysstemet för följande fall: stabil/instabil nod, stabil/instabil spiralpunkt och sadelpunkt.
Löst uppgift Z.C.10.3.14. och Z.C.10.3.18. med betraktande av egenvärdena.
LS1 finns nu på "Studentexpeditionen".
20 september 2005.
Detta innebär att skrivningen startar kl 11.00.(utan kvart).
19 september 2005.
Definierat fundamentallösningar och Wronskianens betydelse.
Definierat fundamentalmatris.
Diskuterat lösningarnas uppförande efter lång tid.
Egenvärdenas betydelse för stabiliteten.
Klassificerat de olika typerna av punkter:
stabil nod, instabil nod, sadelpunkt, degenererad stabil nod, degenererad instabil nod, stabil spiralpunkt, instabil spiralpunkt och centrum.
Infört begreppet autonomt system.
Diskuterat olkia lösningstyper: stationär punkt, båge och periodisk lösning.
Villkor för entydig stationär punkt.
19 september 2005.
Visat metoden "reduktion av ordning" för linjär differentialekvation av ordning två.
Genomgång av homogena linjära system med konstanta koefficineter.
Använt egenvärdesmetoden.
Löst uppgift Z.C.8.2.36. och därvid bestämt en komplex lösning och därefter tagit real- respektive imaginärdelen. Detta har gett två linjärt oberoende lösningar.
15 september 2005, e.m.
15 september 2005.
Diskuterat linjärt beroende/oberoende och infört begreppet fundamentallösningar.
Infört Wronskianen, Wronskideterminanten.
Redogjort för kopplingen mellan Wronskianen och linjärt oberoende lösningar.
Beskrivit lösningsstrukturen för linjära differentialekvationer.
Genomgång av metoden "variation av parametrar" för differentialekvationen
diff(y(x),xx)+P(x)*diff(y(x),x)+Q(x)*y=f(x).
Skrivit det uppkomna systemet på matrisform.
Löst uppgift Z.C.4.6.24.
14 september 2005.
Differentialekvationer av högre ordning
System av linjära första ordningens ODE.
Plana autonoma system och stabilitet.
Behandlat differentialekvationen diff(y(t),tt))-y(t)=exp(t) ur skilda aspekter.
Dels löst differentialekvationen med hjälp av metoden "reduktion av ordning", dels omformat differentialekvationen till ett första ordningens system genom att sätta x=diff(y(t),t).
12 september 2005, e.m.
Visat att Laplacetransformen för en styckvis kontinuerlig funktion av exponentiell ordning går mot noll då s går mot oändligheten.
Löst uppgifterna Z.C.7.3.58., Z.C.7.6.6. och Z.C.7.5.12.
Nästa föreläsning behandlar om högre ordningens differentialekvationer.
12 september 2005, f.m.
Visat Laplacetransformen för t^n för n=1, n=2 och n=3.
Visat Laplacetransformen för en periodisk funktion.
Introducerat begreppet faltning samt angett dess Laplacetransform.
Löst uppgift Z.C.7.4.38. i 6:e upplagan av Z.C.(Uppgift 7.4.36. i den 5:te.)
Här finns lösningsförslag till version A av fredagens lappskrivning. LS1.Svar.
8 september 2005.
Bestämt utgående från definitionen Laplacetransformen för funktionen f(t)=exp(at).
Bestämt utgående från föregående transformation Laplacetransformen för
f(t)=cos(at) och f(t)=sin(at) med hjälp av uttrycket: exp(iat)=cos(at)+isin(at).
Löst uppgift Z.C.2.3.31. med Laplacetransform.
Löst begynnelsevärdesproblemet:
diff(y(t),tt)+4*diff(y(t),t)+13*y(t)=Dirac(t-5), y(0)=2, diff(y(t),t)(0)=3
med Laplacetransform.
Kom i god tid till morgondagens skrivning. Lycka till.
7 september 2005, e.m.
Beskrivit tankarna bakom lösning av linjära differentialekvationer med hjälp av Laplacetransformer.
Definierat Laplacetransformen. Redogjort för begreppet exponentiell ordning.
Bestämt utgående från definitionen Laplacetransformen för funktionen f(t)=1.
Bestämt utgående från definitionen Laplacetransformen för f(t)=diff(f(t),t) och f(t)=diff(f(t),tt).
Beskrivit Heavisides stegfunktion samt Diracs deltafunktion och dess koppling som gränsvärde av vissa Heavisidefunktioner.
Bestämt utgående från definitionen Laplacetransformen för f(t-a)U(t-a) och för Diracs deltafunktion.
OBS! Fredagens lappskrivning omfattar Kapitel 1-3 i Z.C.
Skrivningen äger rum i salarna M31-36 enligt särskild placeringslista.
Legimitation skall medtagas. Tillåtet hjälpmedel är BETA, Mathematics Handbook.
Skrivtiden är 09.15-10.00.
Observera att alla sitter hela skrivtiden.
7 september 2005, f.m.
6 september 2005
5 september 2005
Löst uppgifterna:Z.C.1.3.10;Z.C.1.3.4; Z.C.3.1.14;Z.C.3.2.5 och gjort första delen av Z.C.3.3.7.
2 september 2005
Behandlat differentialekvationer med homogent högerled samt av Bernoullska.
Löst följande differentialekvationer:
(y^2+x*y)dx+x^2dy=0 och diff(y(x),x)-y=exp(x)*y^2.
Betraktat begynnelsevärdesproblemet: diff(y(x),x)=f(x0,y0)
och speciellt studerat riktningsfältet för differentialekvationen diff(y(x),x)=-x/y.
Gjort kvalitativ analys för begynnelsevärdesproblemet:
diff(y(x),x)=y-y^3, y(0)=y0.
OBS! Den första kontrollskrivningen är den 9/9 2005.
1 september 2005
I samband med detta problem har entydighetsatsen diskuterats samt undersökning av lösningar till differentialekvationen x*diff(y(x),x)=2*y har genomfört.
Löst differentialekvationen diff(y(x),x)+2*x*y=x^3 samt diskuterat lösningens uppbyggnad.
Den allmänna lösningen består av den allmänna homogena lösningen plus en partikulär lösning.
Härlett den allmänna lösningen med hjälp av metoden "varaiation av parameter".
Presentation av kursen och dess innehåll.
Redogjort för kursupplägg och examination.
Introducerat några befolkningsmodeller och diskuterat modellernas lämplighet.
De två modellerna är:
a) relativa tillväxthastigheten konstant.
b) relativa tillväxthastigheten konstant minus konstant gånger antalet individer.
Genomfört kvalitativ analys på dessa exempel.
Presenterat två typer av första ordningens differentialekvationer och deras lösningar.
De två är: separabla och linjära.
Nu är det mesta av kurshemsidan klart.
Dock saknas nya OH-bilder.
De flesta av förra å:rets OH-bilder fungerar bra.
De återfinns under adressen OH-bilder,20042005.
till kursen 5B1210, Matematik IV.
Då kommer de första kapitlen i Zill-Cullen att behandlas.
Titta gärna i de tre första kapitlena i förväg.
Detta innebär i vårt fall att 5B1115, Matematik I, och 5B1116, Matematik II behärskas.
Ett nätbaserat stöd finns under följande länkar:
5B1115, Matematik I då det gäller envariabelanalys.
5B1116, Matematik II då det gäller linjär algebra och flervariabelanalys.
För mer grundläggande finns det även KTH:s Sommarmatematik.
