KTH
Matematik
| Rekommenderade uppgifter | Inlämningsuppgifter | Matematikjour | Tentamensanmälan | Extentor |
| Resultat |
5B1210, Matematik IV, 2006.2007.
Nyheter för Bio2 och K2 hösten 2006.
Nu är tentan rättad och granskad.
Den finns att återfå på teknologexpeditionen.
Utfallet finns att beskåda under Resultat.
OBS !
De som erhållit 13 och 14 poäng får komplettera.
Kontakta kursledaren.
Nu är kompletteringstentamen rättad och granskad.
Utfallet finns att beskåda under Resultat.
Den finns att återfå på teknologexpeditionen.
Nu är hela tentan rättad och granskad.
Den finns att återfå på teknologexpeditionen.
OBS !
För de som får komplettera äger kompletteringstentamen måndagen den 4 december 2006, kl 13-16 i sal F1.
Nu är del 1 rättad och granskad.
Utfallet finns att beskåda under Resultat.
Vidare finns en lista med koder på de som få komplettera.
Villkor för komplettering är 3 eller fyra godkända moduler.
Här finns listan.
Nästa vecka är jag bortrest.
Resultatet på del 2 kommer veckan därpå.
Nu finns texter och lösningsförslag till dagens tentamina under Extentor
Nu finns kontrollskrivningarna på teknologexpeditionen.
Dagens föreläsning har ägnats åt repetition.
Kritiska punkter för icke-linjära system, fundamentallösningar samt populationsmodeller.
Nu finns en sammanställning av resultatet av de sex modulerna på kodform under Resultat
Kontrollera att det stämmer.
Nu är KS3 och KS4 rättade och resultatet finns på kodform under Resultat
OBS !
TENTAMENSANMÄLAN VIA "Mina sidor"
SENAST TISDAGEN DEN 7 NOVEMBER 2006.
Se Tentamensanmälan
OBS !
Dagens föreläsning har ägnats åt repetition.
Volymsberäkning, trippelintegraler, flödesintegraler och linjintegraler studerades.
Nu finns lösningsförslag till dagens kontrollskrivningar tillgängliga under länkarna
5B1210.2006.KS3.Svar.
5B1210.2006.KS4.Svar.
Löst uppgifterna E.P.940.,E.P.907.f., E.P.921.g., E.P.927.m. och E.P.11.7.g.
E.P.927.m. löstes dels med sfäriskt polära koordinater dels medelst projektion på xy-planet.
Behandlat följande linjeintegral
Int((ydx-xdy)/(x^2+y^2)), gamma), där gamma är den slutna randkurva
tagen i positiv riktning till rektangeln med hörnen (R,R), (R,-R),(-R,R) och (-R,-R).
Uppgiften löstes genom att skära bort origo, den singulära punkten.
Gamma ersattes med en cirkel med radie epsilon och centrum i origo.
Även parameterframställning av den givna vägen diskuterades.
Begreppet uttömmande följder diskuterades.
Löst uppgift E.P.937.l.
Konvergensundersökningen i uppgift E.P.939.c. genomfördes.
OBS !
TENTAMENSANMÄLAN VIA "Mina sidor"
SENAST TISDAGEN DEN 7 NOVEMBER 2006.
Se Tentamensanmälan
OBS !
Definierat konservativa fält.
Angett tre ekvivalenta kriterier för konservativa fält och visat detta.
Definierat potentialen till ett fält.
Definierat enkelt sammanhängande område.
Angett tillräckligt nödvändigt och tillräckligt villkor för existens av potential.
Löst uppgift E.P.1016. med hjälp av potential.
Vidare har möjligheten att använda Greens formel i E.P.1016. diskuterats.
Definierat linjeintegraler samt parameterframställt riktade kurvor.
Genomfört beräkning av linjeintegraler.
Behandlat Greens formel i planet.
Behandlat flöden genom slutna kurvor i den utåtriktade normalens riktning.
Behandlat uppgift E.P.1002. med olika parameterframställningar.
Löst uppgift E.P.1010. med Greens formel.
Diskuterat nablaoperatorns verkan på ett skalärfält och ett vektorfält.
I det senare fallet uppträdde två fall.
De erhållna funktioner är gradient, divergens respektive rotation.
Visat divergenssatsen samt diskuterat medelutflödet.
Infört begreppet källdensitet.
Tillämpat divergenssatsen på uppgift E.P.11.7.b.
Visat att Coulombfältet är källfritt, dvs visat att div(r/r^3)=0.
Löst uppgift E.P.11.1.i.
Diskuterat följande integraler med buktiga ytor:
Arean av buktiga ytor.
Totalladdning för en area.
Flödesintegraler.
Uppgifterna E.P.932.a. och E.P.932.f. har lösts.
Arean för parameterframställda ytor har nämts.
Nu finns kontrollskrivningarna på teknologexpeditionen.
Nu är KS2 rättad och resultatet finns på kodform under Resultat
Löst uppgifterna E.P.919.c., 921.e,j och 926.b.
Diskuterat Riemannsummor för funktionen f(x,y).
Vidare har Riemannintegraler och dess egenskaper diskuterats.
Infört sfäriskt polära koordinater samt bestämt ytelement och volymselement i dessa.
Löst uppgift E.P.927.m.
Nu finns lösningsförslag till dagens KS tillgänglig under länken 5B1210.2006.KS2.Svar.
Variabelsubstitutioner i multipelintegraler.
Dels har allmännt variabelbyte studerats, dels har polära koordinater studerats.
Behandlat uppgift E.P.919.a.
Behandlat uppgift E.P.907.j.
OBS ! Måndagens kontrollskrivning.
Salar: Q11, Q12, Q13, Q14, Q15, Q21, Q22, Q23, Q24, Q1
Skrivtid:: 08.30-09.30.
Den första timme ägnades åt en översikt av kapitlena 4, 8 och 10.
Den andra timmen ägnades åt diskussioner kring dubbelintegraler och beskrivning av gränser och områden.
Behandlat uppgifterna E.P.903.a-c.
OBS ! Morgondagens föreläsning äger rum i D1.
Fortsatt med uppgift Z.C.10.3.14.
Uppgiften löstes genom att betrakta systemet från den stationära punkten.
Med andra ord genom att införa nya koordinater.
Även fasporträttet konstruerades.
Löst uppgifterna: Z.C.10.3.30. och Z.C.10.3.33.
I Z.C.10.3.33. användes slutligen fasplanmetoden.
Nästa vecka påbörjas nästa modul.
Dock ges en kort repetition av innevarande modul.
Löst uppgifterna: Z.C.10.1.16. och Z.C.10.2.11.
Stabilitetsundersökning av autonoma differentialekvationer.
Undersökt differentialekvationen diff(x(t),t)=(x-1)(x-2) med avseende på stabilitet.
Stabilitetsundersökning av icke-linjära system av autonoma differentialekvationer.
Löst uppgift Z.C.10.3.14.
Löst uppgift Z.C.8.3.23.(6:e uppl.)
Introduktion av autonoma system och stabilitet.
Diskuterat olkia lösningstyper: stationär punkt, båge och periodisk lösning.
Villkor för entydig stationär punkt.
Klassificerat de olika typerna av punkter:
stabil nod, instabil nod, sadelpunkt, degenererad stabil nod, degenererad instabil nod, stabil spiralpunkt, instabil spiralpunkt och centrum.
Sammanfattning angående stabilitet för linjära system med utgångspunkt från egenvärden.
Löst uppgift Z.C.10.2.18. och Z.C.10.1.6.
Genomgång av metoden "variation av parametrar för system".
Löst uppgifterna Z.C.8.2.2., Z.C.8.2.19. och Z.C.8.2.36.
Omformat differentialekvationen diff(y(x),xx)+y(x)=0 till ett linjärt system av första ordningen.
Bestämt egenvärdena och tillhörande egenvektorer till systemets matris.
Konstaterat att karakteristiska rötterna differentialekvationen och egenvärdena är identiska.
Presenterat teorin för lösningarnas uppbyggnad.
Bestämt lösningarna till systemet:
diff(x(t),t)=a*x(t)
diff(y(t),t)=b*y(t)
Både ekvationerna och lösningarna har prsenterats på matrisform.
Vidare har egenvärden och egenvektorer bestämts till systemets matris.
Genomgång av allmänna homogena lösningen till det homogena systemet.
Genomgång av fallen med
a) Skilda reella egenvärden.
b) Upprepade reella egenvärden.
c) Komplexa egenvärden.
Genomgång av metoden "variation av parametrar.
Presenterat en lösningsformel på matrisform.
Löst uppgift Z.C.4.6.24.
Behandlat differentialekvationen
x*diff(y(x),xx)-2(x+1)*diff(y(x),x)+(x+2)*y(x)=0 , x>0.
Löst den med hjälp av en känd lösning y1=exp(x).
Lösningsmetoden var reduktion av ordning.
Vidare har det linjära oberoendet visats med hjälp av Wronskianen.
Randvärdesproblem har diskuterats.
Löst uppgift Z.C.4.1.13.
Introduktion till högre ordningens differentialekvationer.
Diskuterat linjärt beroende/oberoende och infört begreppet fundamentallösningar.
Infört Wronskianen, Wronskideterminanten.
Redogjort för kopplingen mellan Wronskianen och linjärt oberoende lösningar.
Beskrivit lösningsstrukturen för linjära differentialekvationer.
Genomgång av metoden "reduktion av ordning".
Nu finns kontrollskrivningarna på teknologexpeditionen.
Definierat trigonometriska fourierserier och bestämt fourierkoefficienterna.
Särskilt har udda och jämna funktioner betraktats.
Vidare har konvergensförhållandena för fourierserier diskuterats.
Löst uppgifterna Z.C.2.7. och Z.C.11.3.28.
I samband med detta har Gibbs fenomen illustrerats grafiskt.
De som önskar redovisa hos Teitur kan under följande länk se vilka tider som finns tillgängliga. Redovisningstider hos Teitur
Nu är KS1 rättad och resultatet finns på kodform under Resultat
Fortsättning av gårdagens problem.
Anpassat den igår erhållna lösningen till begynnelsevillkoren:
u(x,0)=x(L-x)/4 och diff[u(x,t;t)]=0 för t=0
Härvid har ett problem uppstått.
Nämnligen att uttrycka en funktion med hjälp av sinustermer.
Problemet löstes genom att först multiplicera med en lämplig sinusfunktion
och därefter integrera från 0 till L.
Introduktion av ortogonala funktioner och fourierserier.
Nu finns INL2 tillgänglig via Inlämningsuppgifter
Introduktion av partiella differentialekvationer.
Infört variabelseparationsmetoden.
Löst följande partiella differentialekvation:
diff(u(x,y),x)=u(x,y)+diff(u(x,y),y)
med villkoret u(x,0)=5*exp(-3*x)-4*exp(x).
Använt variabelseparationsmetoden på vågekvationen med begynnelsevillkoren u(0,t)=u(L,t)=0.
De tre skilda fallen har undersökts.
Löst följande uppgifter:
Z.C.7.2.42., Z.C.7.4.14., Z.C.7.4.36., Z.C.7.4.54., Z.C.7.5..6. och Z.C.7.6.6.
Redovisning av INL1 kan ske till och med måndagen den 18 september 2006.
Genomgång av laplacetransformen för t^n*f(t).
Visat laplacetransformen för periodiska funktioner.
Diskuterat faltningsintegralen och dess laplacetransform.
Löst följande uppgifter: Z.C.7.1.32., Z.C.7.2.16., Z.C.7.3.8., Z.C.7.3.16. och Z.C.7.3.42.
Nu finns lösningsförslag till dagens KS tillgänglig under länken 5B1210.2006.KS1.Svar.
OBS !
Vi byter föreläsningssal följande tider:
Onsdagen den 20 september 2006, kl 13-15. Q1 ersätts med M1.
Onsdagen den 4 oktober 2006, kl 8-10. Q1 ersätts med D1.
OBS !
Infört begreppet exponentiell ordning.
Visat att en styckvis kontinuerlig funktion av exponentiell ordning har laplacetransform.
Visat laplacetransformen för funktionen f(t)*exp(a*t).
Visat laplacetransformen för första och andra derivatorna.
Visat laplacetransformen för funktionen f(t-a)U(t-a).
Bestämt laplacetransformen för funktionen fa(t)=(1/(2*a))*(U(t-(t0-a))-U(t-(t0+a))).
Genomfört gränsövergång då a går mot noll.
Därvid har vi erhållit laplacetransformen för Diracs deltafunktion.
Diskuterat kring "tankproblemena" Z.C.3.3.7. och Z.C.3.3.8.
Introduktion av integraltransformer.
Definierat laplacetransformen.
Presenterat laplacetransformens ideer.
Angivit laplactransformen för några funktioner.
Löst differentialekvationen diff(y(t),t)+9*y(t)=exp(2*t).
Definierat Heavisides stegfunktion U(t-a).
Introducerat funktionen fa(t)=(1/(2*a))*(U(t-(t0-a))-U(t-(t0+a))) samt ritat dess graf.
Diskuterat vad som händer då a går mot noll.
Nu finns INL1 tillgänglig via Inlämningsuppgifter
Diskuterat och löst följande "modelluppgifter":
Z.C.3.1.14. Newtons avsvalningslag.
Z.C.3.1.19.(3.1.17 i 5 ed.) Tankproblem.
Z.C.3.2.5. Fiskepopulationsmodell.
Repetition av de fyra typerna av första ordningens ODE.
Separabla, linjära, homogena och Bernoullska.
Löst uppgifterna Z.C.1.3.10. och Z.C.1.3.17.(Z.C.1.3.15. i 5 ed.)
Genomfört en kvalitativ analys av problemet: diff(y(x),x)=y-y^3, y(0)=y0.
(Uppgift Z.C.2.1.15. i 5 ed.)
Löst Z.C.2.2.24. dels som separabel och dels via entydighetssatsen.
Löst Z.C.2.5.5. ( Z.C.2.5.6. 5 ed.).
Genomgång av första ordningens differentialekvationer.
Behandlat separabla.
Bestämt allmänna lösningen med hjälp av variation av parameter.
Detta innebär att den allmänna homogena lösningen bestämdes först.
Därefter ersattes den godtyckliga konstanten i den homogena lösningen med en funkton av x.
Insättning i den inhomogena diff.ekv. ger allmänna lösningen.
Introducerat begreppet integrerande faktor.
Genomfört substitutioner i några differentialekvationer.
Diff.ekv. med homogent högerled har överförts till separabel diff.ekv.
Bernoullska har överförts till linjära.
Löst diff.ekv.: x*diff(y(x),x)-2*y(x)=x^3.
Presentation av kursen och dess innehåll.
Redogjort för kursupplägg och examination.
Introducerat några befolkningsmodeller och diskuterat modellernas lämplighet.
De två modellerna är:
a) relativa tillväxthastigheten konstant.
b) relativa tillväxthastigheten konstant minus konstant gånger antalet individer.
Genomfört kvalitativ analys på dessa exempel.
Diskuterat riktningsfält för differentialekvationen: diff(y(x),x)=-x/y.
Nu är de flesta sidorna utlagda. Dock kan det ske smärre justeringar fram till kursstart.
Studenter från Bio2 och K2, för vilka kursen valts, hälsas välkomna
till kursen 5B1210, Matematik IV.
Då kommer de första kapitlen i Zill-Cullen att behandlas.
Titta gärna i de tre första kapitlena i förväg.
(Förra årets kurshemsida finns tillgänglig via Grundkurser.2005.2006.)
Detta innebär i vårt fall att 5B1115, Matematik I, och 5B1116, Matematik II behärskas.
Ett nätbaserat stöd finns under följande länkar:
5B1115, Matematik I då det gäller envariabelanalys.
5B1116, Matematik II då det gäller linjär algebra och differentialdelen i flervariabelanalys.
För mer grundläggande finns det även KTH:s Sommarmatematik.
