KTH Matematik
| OH.BILDER | Rekommenderade uppgifter | Inlämningsuppgifter |Matematikjour | |Tentamensanmälan | Extentor | Resultat |
SF1633, Differentialekvationer I, 2013.2014.
Nyheter för CENMI2, CINEK2 och CLGYM 3 TEMI hösten 2013.
Nu finns resultatet på tentamensskrivningen den 25 oktober 2013 tillgängligt
via länken Resultat eller direkt SF1633.20131025.
Skrivningarna finns att hämta på studentexpeditionen
från och med tisdagen den 12 november 2013.
De som erhållit 2 godkända moduler får möjlighet att komplettera till godkänt betyg
måndagen den 25 november 2013.
Skrivtiden är 16.30-18.00. Man sitter hela skrivtiden.
De som skall skriva modul 1 sitter i F1 och de som skall skriva modul 2 och modul 3 sitter i Q31.
Bestämt allmänna lösningen till systemet
diff(x(t),y(t),t)=(1, 4; 0, 2)(x, y)=(exp(t); exp(t)) .
Löst uppgift Z.C.10.3.14. Även fasportträttet skisserades.
Bestämt seriesummorna sum(1/n^2, n=1..infinity) och sum((-1)^n/n^2, n=1..infinity)
med hjälp av fourierutvecklingen av den periodisk funktionen f , med perioden 2*Pi,
då f(x)=x^2 på intervallet (0, 2*Pi).
Bestämt s(-8/3), där s(x)=sum(cos(n*Pi*x)/n^2, n=1..infinity).
Slutfört begynnelsevärdesproblemet diff(y(t),tt)+t*diff(y(t),t)-y(t)=0 , y(0)=0 och diff(y(t),t)(0)=1.
Löst uppgift Z.C.7.6.6. med hjälp av laplacetransform och även med egenvärden och egenevektorer.
Visat variation av parametrar för system
Visat att laplacetransformen för en styckvis kontinuerlig funktion av exponentiell ordning
går mot noll då s går mot oändligheten.
Visat laplacetransformen av faltningsintegralen.
Löst uppgifterna Z.C.7.2.34.,Z.C.7.4.14. och Z.C.7.4.26.
Påbörjat begynnelsevärdesproblemet diff(y(t),tt)+t*diff(y(t),t)-y(t)=0 , y(0)=0 och diff(y(t),t)(0)=1.
Visat att en styckvis kontinuerlig funktion av exponentiell ordning har laplacetransform.
Visat laplacetransformen för periodiska funktioner.
Diskuterat faltningsintegralen och dess laplacetransform.
Löst uppgifterna Z.C.7.1.32., Z.C.7.2.8, Z.C.7.2.16., Z.C.7.3.16., Z.C.7.3.42 och Z.C.7.4.36.
Resultatet av KS2 finns nu tillgängligt under Resultat eller direkt KS2 .
Kontrollskrivningarna, KS2, kommer på måndag att finns nu på teknologexpeditionen.
Kontrollera att resultatet stämmer.
SPARA KONTROLLSKRIVNINGARNA TILLS RESULTATET PÅ KURSEN ÄR RAPPORTERAT I LADOK.
Repetition av laplacetransformer
Bestämt laplacetransformen för funktionen fa(t)=(1/(2*a))*(U(t-(t0-a))-U(t-(t0+a))).
Genomfört gränsövergång då a går mot noll.
Därvid har vi erhållit laplacetransformen för Diracs deltafunktion.
Löst uppgiften Z.C.7.5.6. och bestämt lösningens utseende på de olika delintervallen.
Genomgång av laplacetransformen för t^n*f(t).
Bestämt laplacetransformen för följande funktioner:
f(t)=cos(at), f(t)=sin(at), f(t)=t och f(t)=t^2.
OBS !
GLÖM INTE TENTAMENSANMÄLAN !
Anmälningstiden är till och med den 6 oktober 2013 kl 2400 .
OBS !
Introduktion av integraltransformer, Laplacetransformer och Fouriertransformer.
Definierat laplacetransformen.
Presenterat laplacetransformens ideer.
Bestämt laplacetransformen för följande funktioner:
f(t)=0, f(t)=1, f(t)=exp(at)
Visat laplacetransformen för funktionen f(t)*exp(at).
Visat laplacetransformen för första och andra derivatorna.
Definierat Heavisides stegfunktion U(t-a) och bestämt dess Laplacetransform.
Visat laplacetransformen för funktionen f(t-a)U(t-a).
Skisserat funktionerna f(t), f(t)U(t-a) och f(t-a)U(t-a).
Skisserat funktionen fa(t)=(1/(2*a))*(U(t-(t0-a))-U(t-(t0+a))) för olika värden på a.
Nu finns dagens KS tillgänglig KS2.
Repetition av fourierserier.
Särskilt har udda och jämna funktioner betraktats.
Konvergensförhållandena för fourierserier har diskuterats.
Löst uppgift Z.C.11.2.7. och kommenterat Gibbs fenomen.
Slutfört uppgift Z.C.12.3.3.
Löst uppgifterna Z.C.11.2.19, Z.C.11.3.28.
Resultatet av KS1 finns nu tillgängligt under KS1 .
Skrivningarna kommer att finnas tillgängliga på torsdag på studentexpeditionen.
Kontrollera att resultatet stämmer.
SPARA KONTROLLSKRIVNINGARNA
TILLS RESULTATET PÅ KURSEN ÄR RAPPORTERAT I LADOK.
OBS ! Tentamensanmälan. OBS !
Bestämt produktlösningar till värmeledningsekvationen med hjälp av variabelseparationsmetoden. Uppgift Z.C.12.3.3.
Vidare har de lösningar som uppfyller randvillkoren bestämts.
Slutligen har begynnelsevillkoret använts.
Detta har lett till att en funktion skall uttryckas med hjälp av konstantterm och cosinustermer.
Detta ger oss anledning att studera trigonometriska fourierserier.
Definierat inre produkt. Visat ortogonalrelationerna.
Visat att funktionsföljden
{1, cos(Pix/p), cos(2Pix/p),...., cos(mPix/p),..., sin(Pix/p) , sin(2Pix/p), ....,sin(nPix/p), .... }
är ortogonal på intervallet (-p,p).
Definierat trigonometriska fourierserier.
Bestämt fourierkoefficienterna.
Påbörjat avsnittet med partiella differentialekvationer.
Introduktion av partiella differentialekvationer.
Infört variabelseparationsmetoden.
Löst följande partiella differentialekvation:
diff(u(x,y),x)=u(x,y)+diff(u(x,y),y)
med villkoret u(x,0)=5*exp(-3*x)-4*exp(x).
Använt variabelseparationsmetoden på vågekvationen.
De tre skilda fallen har undersökts.
Anpassat lösningarna till vågekvationen till randvillkoren u(0,t)=u(L,t)=0.
Anpassat dessa lösningar till begynnelsevillkoren:
Härvid har ett problem uppstått.
Nämnligen att uttrycka en funktion med hjälp av sinustermer.
Stabilitetsundersökning av icke-linjära system av autonoma differentialekvationer.
Taylorutveckling användes för linjarisering.
Löst uppgift Z.C.10.3.18.
Uppgifterna löstes genom att linjarisera det icke-linjära systemet
Fasplanemetoden tillämpades på uppgift Z.C.10.3.33.
Repetition av måndagens föreläsning.
Löst uppgifterna Z.C.10.1.16, Z.C.10.2.11 och Z.C.10.2.18.
Stabilitetsundersökning av autonoma differentialekvationer.
Detta gjordes med hjäp av Taylorutveckling.
Genomfört undersökningen på diff(x(t),t)=(x-1)(x-2).
Löst uppgift Z.C.8.2.19.
Genomfört metoden "variation av parametrar på systemet av
linjära differentialekvationer. diff(X,t)=A(t)
Detta skedde med hjälp av allmänna homogena lösningen.
Löst uppgiften Z.C.8.3.13.
Introduktion av autonoma system och stabilitet.
Diskuterat olkia lösningstyper: stationär punkt, båge och periodisk lösning.
Villkor för entydig stationär punkt.
Klassificerat de olika typerna av punkter:
stabil nod, instabil nod, sadelpunkt, degenererad stabil nod, degenererad instabil nod, stabil spiralpunkt, instabil spiralpunkt och centrum.
Sammanfattning angående stabilitet för linjära system med utgångspunkt från egenvärden.
Nu finns dagens KS tillgänglig KS1.
Genomgång av allmänna homogena lösningen till det homogena systemet.
Genomgång av fallen med
a) Skilda reella egenvärden.
b) Upprepade reella egenvärden.
c) Komplexa egenvärden.
Löst uppgiften Z.C.8.2.2.
Löst uppgiften Z.C.8.2.36 delvis.
Metoden "reduktion av ordning" visades.
Metoden "variation av parameter" visades och skrevs på matrisform.
Bestämt lösningarna till systemet:
diff(x(t),t)=a*x(t)
diff(y(t),t)=b*y(t)
Både ekvationerna och lösningarna har presenterats på matrisform.
Vidare har egenvärden och egenvektorer bestämts till systemets matris.
Omformat differentialekvationen diff(y(x),xx)+y(x)=0 till ett linjärt system av första ordningen.
Bestämt egenvärdena och tillhörande egenvektorer till systemets matris.
Vidare har en komplex lösning till systemet bestämts.
Utifrån denna har två linjärt oberoende lösningar bestämts.
Konstaterat att karakteristiska rötterna till differentialekvationen och egenvärdena är identiska.
Presenterat teorin för lösningarnas uppbyggnad.
Variation av parametrar introducerades för system.
Diskuterat plana autonoma system samt berört linjarisering av
systemet diffX(t),t)=g(X) med hjälp av Taylorutveckling.
Entydigheten för begynnelsevärdesproblem-
Berört randvärdesproblem och därvid även löst uppgift Z.C.4.1.13.
Diskuterat linjärt beroende/oberoende och infört begreppet fundamentallösningar.
Diskuterat kring "tankproblemet" Z.C.3.3.7.
Kort översikt av modul 2.
Linjära egenskapen diskuterades.
Metoderna "reduktion av ordning" och "variation av parameter" diskuterades.
Bestämt fundamentalmängd av lösningar till ekvationen
x*(diff(y(x),xx)-2*diff(y(x),x)+y(x))=0, x>0.
Vidare har allmänna lösningen till ekvationen
x*(diff(y(x),xx)-2*diff(y(x),x)+y(x))=exp(x), x>0 bestämts.
Härvid har metoden "reduktion av ordning" används.
Även metoden "variation av parameter" användes som alternativ lösningsmetod.
Beskrivit lösningsstrukturen för system av linjära differentialekvationer.
Z.C.3.1.21.Tankproblem.
Löst Z.C.2.2.24. som separabel och med hjäp av entydighetssatsen.
Löst Z.C.3.2.5. fiskepopulationsmodell.
Nästa föreläsning kommer att behandla någon modell samt modul 2.
Differentialekvationen x*diff(y(x),x)-2*y(x)=x^3 löstes även med ansatsen y(x)=z(x)*x^2.
där x^2 är lösning till den homogena ekvationen x*diff(y(x),x)-2*y(x)=0.
Linjära av första ordningen
Bestämt allmänna lösningen med hjälp av variation av parameter.
Detta innebär att den allmänna homogena lösningen bestämdes först.
Därefter ersattes den godtyckliga konstanten i den homogena lösningen med en funktion av x.
Insättning i den inhomogena diff.ekv. ger allmänna lösningen.
Löst Z.C.2.1.17.
Diskuterat och löst följande "modelluppgifter":
Z.C.3.1.4. Bakteriell tillväxt.
Z.C.3.1.14. Newtons avsvalningslag.
Kort sammanfattning av fredagens föreläsning.
Diff.ekv. med homogent högerled har överförts till separabel diff.ekv.
Genomgång av Bernoullska differentialekvationer.
Löst diff.ekv.: diff(x(t),t))=x^2-x.
Uppgiften har lösts som Bernoullsk och även som separabel.
Stationära lösningar och stabilitet/instabilitet har studerats.
Vidare har existensintervallet till begynnelsevärdesproblemet diff(x(t),t))=x^2-x, x(0)=2 bestämts
Även existensintervallet till begynnelsevärdesproblemet diff(x(t),t))=x^2-x, x(0)=1/2 bestämts
Strukturen hos linjära differentialekvationer har diskuterats.
Löst diff.ekv.: x*diff(y(x),x)-2*y(x)=x^3 med hjälp av integrerande faktor.
Presentation av kursen och dess innehåll.
Redogjort för kursupplägg och examination.
Introducerat några befolkningsmodeller och diskuterat modellernas lämplighet.
De tre modellerna är:
a) Relativa tillväxthastigheten konstant.
b) Ändrat modell a) genom att ta hänsyn till brist på resurser.
c) Ändrat modell b genom att ta hänsyn till utflyttning.
Genomfört kvalitativ analys på dessa exempel.
Löst uppgift Z.C.1.3.10.
Diskuterat riktningsfält för differentialekvationen: diff(y(x),x)=-x/y.
Bestämt dess lösning.
Visat lösningsmetoden för separabla differentialekvationer och för linjära av första ordningen.
Studenter från CENMI2, CINEK2 och CLGYM 3 TEMI, för vilka kursen valts,
hälsas välkomna till kursen SF1633, Differentialekvationer I.
Titta gärna i förväg på kapitel 1-3 i Zill-Cullen.
Detta innebär i detta fall att envariabel, flervariabel och linjär algebra behärskas.
Ett nätbaserat stöd finns under följande länkar:
För mer grundläggande finns KTH:s Sommarmatematik.
För envariabel finns SF1643, Tal och funktioner och SF1644, Analys i en variabel .
För linjär algebra finns SF1645, Linjär algebra .
Då det gäller linjär algebra och differentialdelen i flervariabelanalys finns 5B1116, Matematik II.
