Kursens hemsida    schema
	Aktuell Information

 

Svaren på senaste tentan.

Sista uppgiften skiljer, dock. Här är svaret på den uppgiften:

Mattetentan släppt!

Finns på studentexpeditionen.

Anslagstavlan har Hela Listan!

Måndag 29/11

Tentan  Lösningar till tentan.

Måndag 22/11

Jag är tacksam om ni svara på den här enkäten. Ni kan strunta i frågan om schemat, för den här kursen skall inte ges mer; man skall ändra upp­lägget med kurserna. Men det är värde­fullt att veta vad ni tycker om boken.

På den sista före­läsningen gick jag igenom resterande upp­gifter på modell­tentan.

Torsdag 18/11

Här är I:s tenta och lösningar till denna.

Onsdag 17/11

Jag fick en fråga om huru­vida kapitel 4.5 ingår i kursen. Det gör det inte. Jag har ändrat på kurs­hem­sidan.

Fredag 12/11

Bara problem­lösning på differential­ekvationer av första ordningen. Första timmen tog jag uppgift 9 i tentan för I-programmet och uppgift 10 i modell­tentan. Andra timmen tog jag upp­gift 8.6d och 8.7 i övnings­häftet.

Onsdag 10/11

Vi har diskuterat hur vi skall få litet bättre struktur på lektions­grupperna. Nu får de litet olika profil:

Grupp 3 (Bertil) kommer att ha problem­lösning, men bara om det är påkallat repetera några grunder.

Grupp 2 (Per) kommer också att ha problem­lösning, men även i viss ut­sträckning repetera sådant vi gått igenom. Rimligen hinner han därför inte med lika många uppgifter som Bertil.

Grupp 1 (Jan) kommer att göra som Bertil (grupp 3), men tar inte upp de enklaste upp­gifterna, utan koncen­trerar sig på de litet svårare.

Måndag 8/11

Jag gick först igenom differential­ekvationer av första ordningen.

Jag använde följande beteck­ningar: Vi har en differential­ekvation av typen

y'(x) = f(x)y(x) + g(x)

Vi definierar v(x) genom

y(x) = exp(F(x))v(x)     (1)

där F(x) är någon primitiv till f(x). När vi deriverar detta får vi ett uttryck för y'(x) och när vi sätter detta lika med högerledet i differential­ekvationen tar termerna som innehåller v(x) ut varandra, och vi får att

exp(F(x))v'(x) = g(x)

Härur får vi ett uttryck för v'(x) som vi inte­grerar (med inte­grations­konstant!) och sätter in i (1) för att få y(x).

Det finns andra beteck­nings­sätt, och vi får använda vilklet ni vill, men så här gjorde jag på före­läsningen.

Jag tog också upp separer­bara differential­ekvationer (av första ordningen) och ett par enkla exempel. Jag tog också upp lösning­arna till homo­gena andra ordn­ingens differen­tial­ekvationer med konstanta koeffici­enter; de tre fallen fallen: rella olika, reella lika, och komplexa rötter till karak­teristiska ekvationen. Jag bevisade fallet med reella rötter, fast i ett numeriskt exempel, för att det skulle vara litet lättare att följa ("reduktion av ordning".)

Måndag 1/11

Jag gick igenom gene­raliserade integraler. Jag började med exemplet

Jag påpekade att då inte­granden är obe­gränsad fun­gerar inte defini­tionen av integral som gräns­värdet av en Riemann-summa, så man defini­erar den generali­serade inte­gralen som ett gräns­värde av Riemann-integraler. Resul­tatet är att man kan räkna på som vanligt så länge den primi­tiva funk­tionen är konti­nuerlig. Exempel:

fast jag tog bara inte­gralen från 0 till 1. Sedan tog vi inte­graler med obe­gränsat inter­vall. Jag gjorde också exemplet

först ned den misslyckade substitu­tionen tan(x)=t sedan med den mer lyckade substitu­tionen x=p/2 +arctan(t) som leder till en generali­serad integral.

Jag tog också upp det faktum att en generali­serad integral med positiv integrand antingen konver­gerar eller diver­gerar mot oändlig­heten. Det gör det relativt enkelt att avgöra en en sådan integral konver­gerar eller diver­gerar; man jämför med en integral man kan räkna ut. Vi gjorde uppgift 6.30a,b.

På slutet gick jag (alltför) hastigt igenom jäm­förelser mellan summor och inte­graler: SATS 1 sid 341 och mot­svarig­heten för växande funk­tioner. Vi använde den för att upp­skatta den har­moniska serien (exempel 20, sid.341) och för att upp­skatta n! (med f(x)=ln(x).) Det gick alltför snabbt på slutet, så jag åter­kommer något till detta på fredag.

Fredag 29/10

Jag gjorde precis som det står i kurs­planeringen, dvs. jag gick igenom para­metri­serade kurvor, även special­fallet polära koordi­nater, och "härledde" formeln för båg­längd dels generellt ((6) sid 325, fast upp­skrivet som bestämd integral,) dels special­fallet polära koordi­nater (rad tre sid. 328 som bestämd integral.) Dessutom bevisade jag att båg­längden inte beror på para­metri­seringen — det står konstigt nog inte i boken! Jag löste upp­gifterna 7.25, 7.24 och 7.28, förutom att vi kontrol­lerade att cirkelns med radien ett omkrets verkligen blev 2*pi.

Inlämningsuppgift 2

Inlämnas till lektionsläraren den 18:e november.

Tisdag 26/10

Jag definierade Riemann­integralen som gräns­värdet av Riemann­summor som i SATS 4 sid. 290. Därefter härledde jag In­sättnings­formeln (SATS 10 sid. 298) genom att först ta en primitiv F(x) till inte­granden f(x) och använda medel­värdes­satsen: F(x_i)-F(x_i-1) = F'(x_i)*(x_i-x_i-1) = f(x_i)*(x_i-x_i-1) så att Riemman­summan blir en tele­sko­perande summa, etc.

Sedan räknade jag ett par exempel: Hur lång tid tar det att färdas en sträcka från 0 till a om hastig­heten vid av­ståndet x är given som en funktion v(x)? Hur lång tid tar det för en vätska att rinna ut ur ett kärl, när ut­strömnings­hastig­heten är propor­tionell mot kvadrat­roten ut vätske­nivåns höjd?

Slutligen löste jag problem 6.12a,d. Jag ut­trycker det så här: Låt F(t) vara en primitiv till sin(t)/t. Vi skall då deri­vera ut­trycket F(arcsin x) - F(1) m.a.p. x, etc. Skriver man så är det lätt att hantera även situa­tioner där undre gränsen för inte­gralen beror på x. Jag hann alltså inte räkna alla upp­gifterna jag listat i kursplaneringen.

Torsdag 21/10

Jag följde kurs­planeringen, dvs. jag tog upp variabel­substitution i (obestämda) integraler. Jag introdu­cerade begreppet "differential", eftersom det naturliga är att tänka så att vi söker en funktion som har en given differen­tial (snarare än derivata.) Då blir formeln för variabel­substitu­tuion helt naturlig. Men jag påpekade också om man tycker detta verkar besynnerligt kan man för när­varande ta formlerna som "formel-mysticism" efter att vi kontrollerat att de faktiskt stämmer ("kedjeregeln").

Jag tog upp några vanliga fall med trigono­metriska integrander, även "tangens för halva vinkeln" Jag tog också upp "vissa rot­uttryck" såsom i stencilen om integraler.

Det gick ganska fort, så vi kommer att återvända till det här med fler exempel och övningar.

Onsdag 20/10

Jag har hört att det behövs fler integraler att öva på hemma och på räkneövningen. Ett förslag är att ni tittar på uppgifterna 53, 54 och 56 Broneks Dagens. De är bestämda integraler, men det bör gå bra ändå.

En stencil om integraler

Måndag 18/10

En del saker är bra att kunna utan­till. Här er en utantill-lista.

Jag räknade några exempel på "tecken­scheman": 4.6, 4.22. Sedan tog jag upp konvexa och konkava funk­tioner, visade att konvexa funk­tioner (funk­tioner f(x) sådana att f"(x)>0) har egen­skapen att deras graf ligger över varje tangent och under varje korda. Mot­svarande för konkava funk­tioner. Jag tog som exempel att sin(x) > 2x/p för 0 < x < p.

Därefter började jag litet på primi­tiva funk­tioner: visade att de är entydigt bestämda (på ett intervall) så när som på en additiv konstant. Jag tog som hastigast upp partiell inte­gration, och inte­grerade ln(x). Detta bara som en in­ledning till lektionen i morgon, då ni skall ta upp primitiver till rationella funktioner.

Fredag 15/10

Det blev litet strul på lektionerna eftersom jag inte tagit upp Lagranges restterm. Jag gjorde det nu, och gick igenom uppgift 9.14 och 9.38a,b. Jag har skrivit en stencil om restterman i Maclaurins formel. I uppgift 9.38b gick jag händelserna litet i förväg och använde integration för att uppskatta resttermen.

Sedan visade jag egenskapen att f'(x)>0 i ett intervall medför att funktionen är växande där, och motsvarande, mutatis mutandis, för avtagande. Vi läste uppgift 4.12a, genom att göra ett teckenschema som i boken t.ex. på sidan 221. Sedan löste vi uppgift 4.16 på samma sätt.

Tisdag 12/10

Det blev en ganska rörig före­läsning — dels för att studen­terna kom väldigt sent för att de varit ute i Alba Nova, dels för att jag irri­terade mig på den dåliga lokalen (tavlorna,) och dels för att jag inte hade någon bra dag.

Nåväl, jag gick igenom Maclaurins formel och entydig­heten för denna, men inte utveck­ling kring annat än x=0. Jag påpekade att vill man utveckla kring x=a kan man sätta x=a+t och utveckla kring t=0. Vi gjorde det genom att utveckla sin(p/6 + x). Jag skrev upp utveck­lingarna i stencilen om Maclaurins formel (vilka jag naturligt­vis använde i exemplet ovan.) Jag tog också en produkt med en exponential­funktion och en sinus­funktion. Jag avslutatde med ett exempel som blev ganska misslyckat om avståndet till horisonten.

Jag härledde aldrig någon rest­term, inte heller bevisade jag entydig­heten.

Inlämningsuppgifter 1

Lämnas till lektionsläraren den 27 oktober. Börja göra dem redan nu!

Reglerna är: Ni får sam­arbeta, och det är OK att fråga lärare eller andra om detaljer. Just därför är det bra att ta itu med dem i god tid. Men det är inte tillåtet att skriva av någon annans lösningar. Var och en skall alltså stå för sina egna lösningar, och vara beredd att redogöra för dem. Från oss lärares sida är syftet med inlämnings­uppgifterna att ni skall lära er matematiken, inte i första hand att det skall under­lätta tentamen.

Tänk på att lösningarna skall vara väl presen­terade. Det gäller inte minst de två första upp­gifterna.

Tisdag 5/10

Det blev mycket teori. Jag på­pekade satsen att deri­vatan =0 i en inre extrem­punkt (kap. 3.5 SATS 13) och hän­visade till boken för bevis. Därefter visade jag att deriver­bara funk­tioner är kontinu­erliga (kap. 3.3 SATS 1.) Slutligen formu­lerade jag satsen om existens av extrem­värden för kontinu­erliga funk­tioner på ett slutet, begränsat inter­vall. Därefter kunde jag äntligen bevisa differen­tial­kalkylens medel­värdes­sats (kap. 3.5 SATS 14.) Sedan tog vi rast.

Jag måste hinna med L'Hôpitals regel, eftersom övningarna senare är på den. Jag skrev upp satsen, och räknade några exempel. Därefter bevisade jag den i ett special­fall: när nämnarens derivata inte är noll i gräns­punkten (detta för att ge litet intuition, och dessutom få an­ledning att påminna om deri­vatans defini­tion.) Slutligen bevisade jag satsen, såsom jag gör i stencilen. Han var rätt listig, Guillaume François Antoine Marquis de L'Hôpital.

Måndag 4/10

Jag gick igenom defini­tionen av deri­vata, härledde deri­vatan för xⁿ och sin(x). Jag tog en genväg och defini­erade ln(x) som den funktion f(x) som upp­fyller f(1)=0, f'(x)=1/x för x>0 (inget bevis ännu för existen­sen och entydig­heten för en sådan funk­tion.) Därefter tog jag räkne­reglerna för deri­vator, och bevisade produkt­regeln. Sedan här­ledde jag deri­vatan för arctan(x), arcsin(x), a^x och x^a. Jag tog inte upp formeln för inversens deri­vata explicit, utan jag an­vände implicit deriva­tion: t.ex. om y = arctan(x), så deri­verar vi x = tan(y(x)) map. x implicit, osv. Jag bestämde också deri­vatan av x^x på två sätt: dels genom att "deri­vera map. ett x i taget och addera", dels genom att deri­vera ln(y(x)) = x ln(x) implicit.

Här är ett exempel som svar på en fråga jag fick, men inte fann något svar på snabbt. Betrakta (-1)^1/3. Det bör ju vara =-1. Men å andra sidan bör det vara samma sak som (-1)^2/6 som ju bör vara = [(-1)²]^1/6 = 1^1/6 = 1. Detta visar vansklig­heten med expo­nenter av nega­tiva tal, om expo­nenten inte är ett heltal.

Tisdag 28/9

Jag gick igenom kapitel 2.1. Jag tog upp den formella defini­tionen av gräns­värde, och exempli­fierade med gräns­värdet (32) på sidan 156. Jag visade fomellt att man i det fallet för varje e > 0 osv.

Sedan tog jag upp "Haralds Lemma" (se kurs­plane­ringen,) som jag bevisade, och visade samma gräns­värde med hjälp av det. Jag tog alltså ln av uttrycket, och använde gräns­värdet (24) sid. 155, vilket vi tog upp igår.

Jag nämnde också defini­tionen av kontinu­erlig funktion, och påstod att alla elemen­tära funk­tionder är konti­nuerliga där de är defini­erade. Jag tog tan(x) som exempel, och påpekade att den inte är defini­erad i de punkter där grafen inte hänger ihop.

Slutligen skrev jag upp räkne­reglerna för gräns­värden (Sats 2 sid 136) och påpekade att de inte inne­bär att man får låta "ett x i taget" gå mot etc. Jag exempli­fierade med gräns­värdet (30) sid 156, som ju blir tokigt om man först låter det ena n:et och sedan det andra gå mot oändlig­heten. Jag talade om att gräns­värdet är e, men det har vi inte visat.

Jag har alltså inte gått igenom hela kapitel 2; speciellt inte 2.3 och 2.5.1.

Måndag 27/9

Jag följde kursplaneringen precis. Jag gick inte igenom gränsvärdet (21) sid. 154 – det blir nästa gång.

Onsdag 22/9

Jag försökte illustrera tanken bakom induktionsbevis, men lyckades inte. Så jag gav upp, och drog definitionerna av ascsin, arccos och arctan (vi hoppar över arccot) och räknade ett par exempel; bl.a. visade vi att arctan(1/2) + arctan(1/3) = p/4.

Andra timmen tog jag upp gränsvärden informellt: vi visade genom "instängning" att (sin x)/x —> 1 då x —> 0. Därefter med "instängning" att aⁿ/n —> oändl. då n —> oändl. (för n=heltal.) Mer hann vi inte.

Måndag 20/9

Jag pratade första timmen om summasymbolen. Jag visade hur man kan "skifta index" i en summa, och illustrerade med teleskoperande summor. Jag härledde också formeln för en geometrisk summa genom att skriva den som en teleskoperande summa.

Andra timmen ägnade jag år binomialkoefficienter. Jag definierade som antalet sätt att välja ut k element av n, och visade med ett resonemang att , d.v.s egenskapen i Pascals Triangel. Därefter skulle jag visa formeln för uttryckt i fakulteter, men tiden rann iväg, så jag hann inte riktigt klart.

Fredag 17/9

Nu finns de två första veckornas kursplanering.