KTH
Matematik
|Matematikjour | OH.BILDER | Tentamensanmälan | Kursutvärdering | Extentor | Resultat |
5B1210, Matematik IV, 2004.2005.
Nyheter för Bio2 och K2 hösten 2004.
Nu är denna kursomgång klar.
Resultatet finns nu tillgängligt under Tentamensresultat 20041020-30.
För de som ej har kodnummer hänvisas till elevexpeditionen.
Skrivningarna finns nu tillgängliga på expeditionen.
| 20041030.Text | 20041030.Svar |
Salar till morgondagens tentamen för de som anmält sig är följande: Q34-36.
Nu finns resultatet på del 1 klar och tillgängligt under Tentamensresultat 20041020, del 1.
För de som ej har kodnummer hänvisas till elevexpeditionen.
De som har för avsikt att tentera på del 3, lördagen den 30 oktober 2004 kl 0900-1400 skall anmäla sig senast torsdagen den 28 oktober 2004 kl 1400 till Kerstin Engstrand. med angivande av namn, personnummer, program och kurs.
Löst uppgifterna 7, 13, 14 och 15 ur tentamensskrivningen 5B1210.20031020.
Svar till LS4 finns nu under LS4.Svar.
Löst uppgifterna E.P.1046, E.P.1101.e., E.P.1102.a., E.P.1108 och E.P.1111.
Löst uppgifterna E.P.11.8., E.P.1027. och E.P.1041.
Visat kontinuitetsekvationen utgående från divergenssatsen.
Visat Poissons ekvation, Laplace-ekvation, värmeledningsekvationen och diffusionsekvationen utgående från kontinuitetsekvationen.
Beräknat ytintegralen int(1/sqrt(x^2+y^2+z^2), dsigma)
över ytan given av x^2+y^2+z^2=4, x^2+y^2 (mindre eller lika med) 1, z (större eller lika med) 0.
Dels genom projektion på xy-planet samt antytt lösning via sfäriskt polära koordinater.
Någon har glömt sina glasögon i föreläsningssal D1.
Jag tar med dessa till morgondagens föreläsning.
Nu finns resultaten tillgängliga då det gäller modulerna 1-3 och 5.
De finns under Resultat .
Glöm ej tentamensanmälan.
Se Tentamensanmälan .
Visat divergenssatsen.
Introducerat begreppet källdensitet.
Löst uppgift E.P.11.7.b. och E.P.11.7.g. med hjälp av divergenssatsen.
Visat att div(uF)=gradu*F+u*divF.
Beräknat linjeintegralen int((ydx-xdy)/(x^2+y^2)) längs den slutna kurvan
tagen i positiv led till rektangeln med hörnen (R,R), (R,.R),(-R,R) och (-R,-R).
Uppgiften löstes genom att skära bort den singulära punkten(0,0).
Introducerat yt- och flödesintegraler.
Löst uppgift E.P.11.1.a. och E.P.11.1.i.
Beräknat flödesintegralen int(u (skalärt) (n tak)d sigma) över S,
där u=(xy^2z,-x^2yz,x^2) och där S är den del av sfärytan x^2+y^2+z^2=4 som ligger inom cylindern x^2+y^2=1 och på vilken z>0.
(n tak) är den utåtriktade enhetsnormalen till sfären.
Visat de ekvivalenta kriterierna för konservativa fält.
Definierat potentiell energi till ett fält.
Definierat enkelt sammanhängande område.
Linjeintegraler kring singulära punkter.
Beräknat linjeintegralen int{(exp(x+y)-y)dx+(exp(x+y)-1)dy. gamma},
där gamma är halvcirkeln i övre halvplanet från (0,0) till (1,0).
Beräknat linjeintegralen int{(1/(x^2*y)dx+((1/(x*y^2)dy. gamma},
där gamma är hyperbeln x^2-y^2=3, från (2,1) till (3,sqrt(6)).
Definition och beräkning av linjeintegralen.
Samband mellan linjeintegral och dubbelintegral.
Visat Greens formel.
Definition av konservativa fält och kriterier för konservativa fält.
Löst uppgifterna E.P.1002, E.P.1010 och E.P.1016.
I uppgift E.P.1016 bestämdes även en potential.
Svar till LS3 finns nu under LS3.Svar.
Någon har glömt en miniräknare i föreläsningssal E1.
Den upphittades efter vår föreläsning idag, torsdagen den 30 september 2004.
Den finns nu på institutionens expedition.
Löst uppgift E.P.921.e.
Diskuterat runt uttömmande följd till en obegränsad mängd och
konvergens samt absolutkonvergens hos dubbelintegralen.
Löst uppgifterna 937.l. och 938.c.
Behandlat uppgift 919.d. angående område och gränser.
Extrasal till LS3 måndagen den 4 oktober 2004 är E36.
Bio coh K går till ordinarie salar.
Övriga går i första hand till extrasalen.
Arean av buktiga ytor.
Definitionen samt behandling av fallet z=f(x,y) dels via definitionen dels via betraktande av ytelement.
Löst uppgifterna: E.P.932.a. och E.P.932f.
OBS!Kom ihåg att göra tentamensanmälan. OBS !
Substitutioner i dubbelintegraler.
Trippelintegraler och substitutioner i trippelintegraler.
Sfäriskt polära koordinater och cylinderkoordinater.
Löst uppgifterna E.P.911 och E.P.927.m.
Introduktion av dubbelintegraler.
Riemannsummor.
Dubbelintegraler över axelparallella rektangler.
Begreppet "nästan över allt".
Existens av Riemannintegralen.
Beräkning av dubbelintegraler.
Egenskaper hos dubbelintegraler.
Medelvärdessatsen för dubbelintegraler.
Variabelsubstitution i dubbelintegraler.
Substitution med polära koordinater.
Ett nytt stöd i Maple finns här Maple.
Det stora antalet deltagare har gjort att vi har bokat om vissa övningssalar. Det gäller följande dagar: 27-28 sept. och 12 okt.
Vid dessa tillfällen fanns det lämpliga lokaler.
För detaljer se Schema.
Slutfört uppgift Z.C.12.4.1.
Löst uppgiften:
Givet att s(x)=sum((1/n^2)*cos(n*Pi*x), n=1..oändl.) är lika med
funktionen (Pi)^2/12*(3*x^2-6*x+2)., på intervallet (0,1).
Beräkna s(-8/3).
Löst Z.C.12.5.12.
OBS!
Nästa vecka börjar vi med multipelintegraler.
OBS!
OBS! Det finns tryckfel i inlämningsuppgiften.
Se INL2 .
Fourierserier för jämna och udda funktioner.
Villkor för konvergens hos Fourierserier.
Löst uppgift Z.C.11.3.28.
Löst problemet:
------------------------------------------------------------------------------------------
12.a) Låt en oändlig ortogonal följd av funktioner vara given på intervallet [a,b] .
Låt vidare y=f(x) vara en styckvis kontinuerlig funktion på intervallet [a,b] .
Bestäm f:s utveckling i den ortogonala funktionsföljden.
b) Utveckla funktionen f given av f(x)=0 på intervallet (-Pi,0) och f(x)=Pi-x på intervallet (0,Pi)
i funktionsföljden { 1, cos nx, sin mx}, n=1,2,3,...; m=1,2,3,.. .
c) Bestäm seriens värde för x=0 .
------------------------------------------------------------------------------------------
Fortsatt med ortogonalrelationerna.
Introducerat trigonometrisk Fourierserie samt bestämt Fourierkoefficienterna.
Diskuterat jämna och udda funktioner och integration över origosymmetriska intervall.
Löst uppgifterna Z.C.11.2.7 och Z.C.19.
Refererat till BETA angående Fourierutveckling av funktionen i uppgift Z.C.
Introduktion av partiella differentialekvationer.
Löst uppgifterna Z.C.12.1.1., Z.C.12.1.16. och Z.C.12.1.11.
Därefter har randvillkor tillfogats uppgift Z.C.12.1.11. vilket svarar mot Z.C.12.4.1.
Bestämt lösningar som uppfyller randvillkoren.
Vid införande av begynnelsevillkoren uppträdde nytt problem som medförde att ortogonala funktioner infördes.
Svar till LS1 finns nu under LS2.Svar.
Nu finns inlämningsuppgift nr 2 tillgänglig under INL2 .
INL2 skall redovisas hos gruppläraren senast vecka 40, 2004.
Stabilitetsundersökning av icke.linjära system.
Löst uppgift Z.C.10.3.14. , bestämt kritiska punkter och deras karaktär.
Vidare har fasporträttet uppritats.
Bestämt en till y1=x^(-3) linjärt oberoende lösning till differentialekvationen
x^2*diff(y(x),xx)+2x*diff(y(x),x)-6y(x)=0 då y1=x^(-3) är en lösning.
LS2 omfattar kapitel 4, 8 och 10.
En reservsal är bokad även denna gång.
Reservsalen är K2.
Nästa vecka behandlar vi kapitel 11 och 12, dvs fourierserier och partiella differentialekvationer.
Stabilitetsundersökning av linjära och icke-linjära system.
Genomgång av variation av parametrar för system.
Löst uppgift Z.C.8.3.13.
Inledning av kapitel 10, plana autonoma system och stabiltet.
Genomgång av lösningstyper.
Stabilitet hos linjära system, behandlat skilda reella egenvärden.
Genomgång av metoden "variation av parametrar".
Löst uppgift Z.C.4.6.24.
Omformat differentialekvationen diff(x(t),tt)+x(t)=0 till ett system av första ordningen.
Inledning av system av linjära första ordningens ODE.
Introducerat begreppen: fundamentallösningar, fundamentalmatris.
Entydighet hos linjära system.
Lösning av system med egenvärdesmetoden.
Behandlat de tre skilda fallen:
Skilda reella egenvärden, upprepade reela egenvärden och komplexa egenvärden.
Avslutat med att lösa det introducerade exemplet.
Här finns resultatet på LS1.Resultat.
Begynnelsevärdesproblem, randvärdesproblem, fundamentallösningar, linjärt beroende och oberoende, Wronskian.
Löst uppgift Z.C.4.10. och Z.C.4.1.13a, b, d.
Behandlat differentialekvationen diff(Y(x),xx)-y=0 med avseende på linj. ober. fundamentallösningar och Wronskian.
Genomgång av reduktion av ordning.
Genomgång av faltning och dess Laplacetransform.
Visat Laplacetransformen för periodiska funktioner.
Löst problem: Z.C.7.4.8., Z.C.7.4.36. och Z.C.7.5.6.
Introduktion till linjära differentialekvationer av högre ordning.
Presentation aav Heavvisides stegfunktion och Diracs deltafunktion samt härledning av deras Laplacetransformer.
Visat Laplacetransformen av f(t-a)*U(t-a).
Visat Laplacetransformen av (t^n)*f(t) för n=1, 2.
Löst uppgift Z.C.7.3.42.
Svar till LS1 finns nu under LS1.Svar.
Definierat Laplacetransformen.
Illustrerat metoden på en linjär differentialekvation av första ordningen med villkor för t=0.
Infört begreppet exponentiell ordning samt visat existens av Laplacetransformen under vissa givna villkor.
Visat att Laplacetransformen av styckvis kontinuerliga funktioner av exponentiell ordning går mot noll då s går mot oändligheten.
Visat Laplacetransformen för funktionen exp(at)*f(t) samt för derivator.
Löst uppgifterna Z.C.7.2.34., Z.C.7.2.36
Nu finns inlämningsuppgift nr 1 tillgänglig under INL1 .
INL1 skall redovisas hos gruppläraren senast vecka 38, 2004.
Problemlösning: Z.C.3.2.15a,c, Z.C.3.3.7 och Z.C.3.3.8.
LS1 omfattar kapitel 1-3. Skrivtid 11.15-12.00.
Genomgång av modeller med första ordningens ODE.
Behandlat uppgifterna: Z.C: 3.1.14, 3.1.17. och 3.2.3.
Behandlat metoden variation av parameter på linjära differentialekvationer av första ordningen.
Behandlat substitutioner i differentialekvationer.
Speciellt diff.ekv. med homogent högerled och Bernoullska diff.ekv.
Behandlat uppgiften Z.C.1.3.10. samt även löst den uppkomna differentialekvationen.
Löst differentialekvationen diff(y(t),t)=y(t)-(y(t))^2 som Bernoullsk diff.ekv.
Prensentation av kursen och dess examination.
Diskuterat två befolkningsmodeller:
Modell1: diff(P(t),t)=a*P(t)
Modell2: diff(P(t),t)=a*P(t)-b*(P(t))^2
Diskuterat begynnelsevärdesproblemet diff(y(x),x)=f(x,y), y(x0)=y0.
Redogjort för entydighetssatsen rörande ovanstående problem.
Redogjort för kvalitativ analys och belyst detta med exempel Z.C.2.1.15.
Påbörjat första ordningens diff.ekv. med : separabla och linjära.
Löst diff.ekv.: x*diff(y(x),x)-y(x)=x^2.
Vi startar kursen med differentialekvationsdelen och behandlar den första veckan kapitel 1-3 i Zill-Cullen: Differential Equations with Boundary Value Problems.
På måndag den 6 september 2004 är den första lappskrivningen.
Den omfattar kapitel 1-3.
till kursen 5B1210, Matematik IV.
Detta innebär i vårt fall att 5B1115, Matematik I, och 5B1116, Matematik II behärskas.
Ett nätbaserat stöd finns under följande länkar:
5B1115, Matematik I då det gäller envariabelanalys.
5B1116, Matematik II då det gäller linjär algebra och flervariabelanalys.
För mer grundläggande finns det även KTH:s Sommarmatematik.
