KTH
Matematik
| Rekommenderade uppgifter | Inlämningsuppgifter | Matematikjour | Tentamensanmälan | Extentor |
| Resultat |
SF1636(5B1210), Matematik IV, 2007.2008.
Nyheter för Bio2 och K2 hösten 2007.
Nu är tentan rättad och granskad.
Den finns att återfå på teknologexpeditionen.
Nu är kompletteringen rättad och granskad.
Den finns att återfå på teknologexpeditionen.
Utfallet finns att beskåda under Resultat.
Nu är hela tentan rättad och granskad.
Den finns att återfå på teknologexpeditionen.
Utfallet finns att beskåda under Resultat.
Nu är del 1 rättad och granskad.
Utfallet finns att beskåda under Resultat.
Vidare finns en lista med koder på de som får komplettera.
Villkor för komplettering är 3 eller fyra godkända moduler.
Här finns listan.
Lösningsförslag finns utlagt på Extentor
Nu finns kontrollskrivningarna på teknologexpeditionen.
Torsdagens föreläsning ägnades åt repetion.
Det som behandlades var följande:
flödesintegral, trippelintegral och fourierserier.
Resultatet på KS4 finns nu på kodform under Resultat.
Resultatet på KS3 finns nu på kodform under Resultat.
Löst uppgift P.B.10.24.
Löst följande uppgifter:
5. f(t)=1-2*int((exp(-3*tau))*f(t-tau) dtau, tau:0-->t).
6. Härlett en partikulärlösning till ett inhomogent system
xprim=Ax+f
då en fundamentalmatris var given.
Bestämt allmänna lösningen.
Vidare tillämpades detta på följande exempel:
xprim =(1 ,4 ; 0,2) x+(exp(t), exp(t))
"Sista anmälningsdagen är söndagen den 4 november 2007".
Nu finns lösningsförslag till dagens KS:ar tillgänglig under:
SF1636.KS3.Svar.
SF1636.KS4.Svar.
Löst uppgifterna: P.B.10.11 och P.B.10.10.
10.11 löstes med hjälp av projektion på xy-planet.
Vidare diskuterades användningen av divergens-satsen genom att sluta ytan.
Visat att för ett potentialfält erhålles arbetsintegral som differensen i potential.
Visat att om kurvintegralen är oberoende av vägen, under lämpliga förutsättningar, så har vektorfältet en potential.
Visat divergenssatsen samt diskuterat medelutflödet.
Infört begreppet källdensitet.
Löst uppgifterna P.B.10.18 och P.B.10.27.
Salar för KS 3-4, kl 15.30-17.30, torsdagen den 1 november 2007,
finns i kodform under länken KS 3-4-salar.
Observera vidare att
"Sista anmälningsdagen är söndagen den 4 november 2007".
Diskuterat begreppen: sluten , enkel samt cirkulation av vektorfält.
Formulerat och viat Greens formel i planet.
Tolkat kurvintegralen av -y längs en sluten kurva,
där det inneslutna området betecknas med D.
Använt Greens formel på kurvintegralen int(-u2dx+u1dy) längs en sluten kurva gamma.
Diskuterat flödet ut ur området.
Löst uppgift P.B.9.9. med hjälp av Greens formel.
Alternativ framställning med hjälp av parameterframställning av randkurvan diskuterades.
Definierat potentialfält samt diskuterat villkor för dess existens.
Löst uppgift P.B.9.30.
Beräknat arean av rymdyta, dels med hjälp av parameterframställning,
dels med hjälp av projektion på koordinatplan.
Löst uppgift P.B.8.16.
Introduktion av kurvintegraler.
Resultatet på KS2 är justerat för koderna 60, 61, 62 och 75.
Detta på grund av handhavandefel.
Diskuterat följande begrepp:
trappfunktioner över- och undersummor , Riemannintegrerbarhet
nollmängd, kvadrerbara mängder, medelvärde
Riemannsummor, indelningars finhet.
Vidare har generaliserade dubbelintegraler för positiva integrander diskuterats.
Löst uppgift P.B.6.43.
Skisserat kristallskålen i uppgift P.B.8.11.
Resultatet på KS2 finns nu på kodform under Resultat.
Behandlat uppgifterna i P.B.: 6.25,6.27, 7,4, 7.11, 7.16 och 8.3.
Återstoden av de rättade kontrollskrivningarna finns på "Studentexpeditionen".
OBS !
TENTAMENSANMÄLAN VIA "Mina sidor"
SENAST SÖNDAGEN DEN 4 NOVEMBER 2007.
Se Tentamensanmälan
OBS !
Infört sfäriska koordinater samt bestämt volymselement i dessa.
Infört cylinderkoordinater.
Diskuterat användningar av integraler såsom:
Volymsberäkningar
Area av buktig yta ( med beräkningsformel).
Tröghetsmoment.
Masscentrum.
Löst uppgifterna P.B.6.19. och P.B.6.22.
Behandlat dubbelintegralen:
int{int{exp(x^2),x:y-->2};y:0-->2}
genom byte av integrationsordningen.
Behandlat dubbelintegralen:
int{int{ycos(x^5)),x:rot(y)-->2};y:0-->4}
genom byte av integrationsordningen.
Behandlat dubbelintegralen:
int{int{1/(x^2+y^2),D}
där D={(x,y): 1≤x^2+y^2≤4, 0≤x≤y≤yrot(3)}
genom att införa polära koordinater.
Visat variabelsubstitution i dubbelintegraler.
Nu finns lösningsförslag till dagens KS tillgänglig under länken SF1636.KS2.Svar.
Löst uppgift Z.C.10.3.33.
I Z.C.10.3.33. användes slutligen fasplanmetoden.
Repetition av innevarande modul.
Bestämt allmänna lösningen till differentialekvationen
x^2*diff(y(x),xx))-4x*diff(y(x,x))+6y(x)=x^4*exp(x)
då y(x)=x^n är en lösning till motsvarande homogena differentialekvation.
Metoden "variation av parametrar" användes.
Reduktion av ordning diskuterades.
Klassificerat den kritiska punkten till systemet
( diff(x(t),t) ,diff(y(t),t)))=( -2 , 1 ; -4 , 3) (x , y)
Bestämt allmänna lösningen.
Angett vad som händer för en partikel som placeras i punkterna (3,3) och (1,4) efter lång tid.
Klassificerat de stationära punkterna till det icke-linjära systemet
( diff(x(t),t) ,diff(y(t),t)))=( 1-exp(y); 1-x^2+y^2)
med avsennde på typ och stabilitet.
Löst uppgift Z.C.10.3.14.
Uppgiften löstes dels genom att linjarisera det icke-linjära systemet dels genom att betrakta systemet från den stationära punkten.
Med andra ord genom att införa nya koordinater.
Även fasporträttet konstruerades.
Löst uppgiften Z.C.10.3.30.
Salar för måndagens KS finns i kodform under länken KS2-salar.
Löst uppgifterna Z.C.10.1.6, Z.C.10.1.16, Z.C.10.2.11 och Z.C.10.2.18.
Stabilitetsundersökning av autonoma differentialekvationer.
Undersökt differentialekvationen diff(x(t),t)=(x-1)(x-2) med avseende på stabilitet.
Stabilitetsundersökning av icke-linjära system av autonoma differentialekvationer.
Löst uppgift Z.C.8.3.23.(6:e uppl.)
Introduktion av autonoma system och stabilitet.
Diskuterat olkia lösningstyper: stationär punkt, båge och periodisk lösning.
Villkor för entydig stationär punkt.
Klassificerat de olika typerna av punkter:
stabil nod, instabil nod, sadelpunkt, degenererad stabil nod, degenererad instabil nod, stabil spiralpunkt, instabil spiralpunkt och centrum.
Sammanfattning angående stabilitet för linjära system med utgångspunkt från egenvärden.
Genomgång av fallet med
c) Komplexa egenvärden.
Genomgång av metoden "variation av parametrar för system".
Löst uppgifterna Z.C.8.2.2., Z.C.8.2.19. och Z.C.8.2.36.
Nu finns resultatet på INL1 i kodform under Resultat.
Omformat differentialekvationen diff(y(x),xx)+y(x)=0 till ett linjärt system av första ordningen.
Bestämt egenvärdena och tillhörande egenvektorer till systemets matris.
Konstaterat att karakteristiska rötterna differentialekvationen och egenvärdena är identiska.
Presenterat teorin för lösningarnas uppbyggnad.
Bestämt lösningarna till systemet:
diff(x(t),t)=a*x(t)
diff(y(t),t)=b*y(t)
Både ekvationerna och lösningarna har prsenterats på matrisform.
Vidare har egenvärden och egenvektorer bestämts till systemets matris.
Genomgång av allmänna homogena lösningen till det homogena systemet.
Genomgång av fallen med
a) Skilda reella egenvärden.
b) Upprepade reella egenvärden.
Slutfört metoden "reduktion av ordning".
Behandlat differentialekvationen
x*diff(y(x),xx)-2(x+1)*diff(y(x),x)+(x+2)*y(x)=0 , x>0.
Löst den med hjälp av en känd lösning y1=exp(x).
Lösningsmetoden var reduktion av ordning.
Vidare har det linjära oberoendet visats med hjälp av Wronskianen.
Genomgång av metoden "variation av parametrar.
Presenterat en lösningsformel på matrisform.
Löst uppgift Z.C.4.6.24.
Nu finns kontrollskrivningarna på teknologexpeditionen.
Nu är KS1 rättad och resultatet finns på kodform under Resultat.
Introduktion till högre ordningens differentialekvationer.
Diskuterat linjärt beroende/oberoende och infört begreppet fundamentallösningar.
Infört Wronskianen, Wronskideterminanten.
Redogjort för kopplingen mellan Wronskianen och linjärt oberoende lösningar.
Beskrivit lösningsstrukturen för linjära differentialekvationer.
Löst differentialekvationen:
med hjäp av känd lösning: y1(x)=exp(x).
Genomgång av metoden "reduktion av ordning" fram till och med steget med reduktion av ordning.
Uppgifterna rörande värmeledningsekvationen och vågekvationen från tidigare har slutförts.
Konvergensförhållandena för fourierserier har diskuterats.
Löst uppgifterna Z.C.11.2.7. och Z.C.11.3.28.
I samband med Z.C.11.2.7. har Gibbs fenomen illustrerats grafiskt.
Definierat inre produkt. Visat ortogonalrelationerna.
Visat att funktionsföljden
{1, cos(Pix/p), cos(2Pix/p),...., cos(mPix/p),..., sin(Pix/p) , sin(2Pix/p), ....,sin(nPix/p), .... }
är ortogonal på intervallet (-p,p).
Definierat trigonometriska fourierserier och bestämt fourierkoefficienterna.
Särskilt har udda och jämna funktioner betraktats.
Anpassat lösningarna till vågekvationen till randvillkoren u(0,t)=u(L,t)=0.
Anpassat dessa lösningar till begynnelsevillkoren:
u(x,0)=x(L-x)/4 och diff[u(x,t;t)]=0 för t=0.
Härvid har ett problem uppstått.
Nämnligen att uttrycka en funktion med hjälp av sinustermer.
Bestämt allmänna lösningen till värmeledningsekvationen med hjälp av variabelseparationsmetoden.
Därefter bestämdes de lösningar som uppfyller randvillkoren:
diff(u(x,t),x){0,t)=diff(u(x,t),x){L,t)=0.
Vidare anpassades lösningen till begynnelsevillkoret u(x,0)=f(x).
Härvid har ett problem uppstått.
Nämnligen att uttrycka en funktion med hjälp av konstantterm och cosinustermer.
Detta ger oss anledning att studera trigonometriska fourierserier.
Nu finns INL2 tillgänglig via Inlämningsuppgifter
Löst Z.C.7.6.12
Introduktion av partiella differentialekvationer.
Infört variabelseparationsmetoden.
Löst följande partiella differentialekvation:
diff(u(x,y),x)=u(x,y)+diff(u(x,y),y)
med villkoret u(x,0)=5*exp(-3*x)-4*exp(x).
Använt variabelseparationsmetoden på vågekvationen.
De tre skilda fallen har undersökts.
Nu finns lösningsförslag till dagens KS tillgänglig under länken SF1636.KS1.Svar.
Visat laplacetransformaen av faltningsintegralen.
Löst följande uppgifter: Z.C.7.3.8., Z.C.7.3.42., Z.C.7.4.36. och Z.C.7.5.6.
Genomgång av laplacetransformen för t^n*f(t).
Bestämt laplactransformen för t, t^2 och t^3.
Bestämt laplacetransformen för funktionen fa(t)=(1/(2*a))*(U(t-(t0-a))-U(t-(t0+a))).
Genomfört gränsövergång då a går mot noll.
Därvid har vi erhållit laplacetransformen för Diracs deltafunktion.
Visat laplacetransformen för periodiska funktioner.
Diskuterat faltningsintegralen och dess laplacetransform.
Infört begreppet exponentiell ordning.
Visat att en styckvis kontinuerlig funktion av exponentiell ordning har laplacetransform.
Visat laplacetransformen för funktionen f(t)*exp(at).
Visat laplacetransformen för första och andra derivatorna.
Bestämt laplacetransformen för följande funktioner:
f(t)=1, f(t)=exp(at), f(t)=cos(at) och f(t)=sin(at).
Visat laplacetransformen för funktionen f(t-a)U(t-a).
Skisserat funktionerna f(t), f(t)U(t-a) och f(t-a)U(t-a).
Diskuterat kring "tankproblemet" Z.C.3.3.8.
Löst uppgift Z.C.2.3.6.
Introduktion av integraltransformer.
Definierat laplacetransformen.
Presenterat laplacetransformens ideer.
Angivit laplactransformen för några funktioner.
Löst differentialekvationen diff(y(t),t)+9*y(t)=exp(2*t).
Definierat Heavisides stegfunktion U(t-a).
Introducerat funktionen fa(t)=(1/(2*a))*(U(t-(t0-a))-U(t-(t0+a))) samt ritat dess graf.
Diskuterat vad som händer då a går mot noll.
Nu finns INL1 tillgänglig via Inlämningsuppgifter
Diskuterat och löst följande "modelluppgifter":
Z.C.3.1.14. Newtons avsvalningslag.
Z.C.3.1.19.(3.1.17 i 5 ed.) Tankproblem.
Z.C.3.2.5. Fiskepopulationsmodell.
Repetition av de fyra typerna av första ordningens ODE.
Separabla, linjära, homogena och Bernoullska.
Löst Z.C.2.2.24. dels som separabel och dels via entydighetssatsen.
Löst Z.C.2.5.16.
Även lösningarnas existensintervall har diskuterats.
Genomgång av första ordningens differentialekvationer.
Behandlat separabla.
Bestämt allmänna lösningen med hjälp av variation av parameter.
Detta innebär att den allmänna homogena lösningen bestämdes först.
Därefter ersattes den godtyckliga konstanten i den homogena lösningen med en funkton av x.
Insättning i den inhomogena diff.ekv. ger allmänna lösningen.
Introducerat begreppet integrerande faktor.
Genomfört substitutioner i några differentialekvationer.
Diff.ekv. med homogent högerled har överförts till separabel diff.ekv.
Bernoullska har överförts till linjära.
Löst diff.ekv.: x*diff(y(x),x)-2*y(x)=x^3.
Presentation av kursen och dess innehåll.
Redogjort för kursupplägg och examination.
Introducerat några befolkningsmodeller och diskuterat modellernas lämplighet.
De två modellerna är:
a) relativa tillväxthastigheten konstant.
b) relativa tillväxthastigheten konstant minus konstant gånger antalet individer.
Genomfört kvalitativ analys på dessa exempel.
Löst uppgifterna Z.C.1.3.10.,Z.C.1.3.17.(Z.C.1.3.15. i 5 ed.) och Z.C.2.1.19.(Z.C.2.1.15. i 5 ed.)
Diskuterat riktningsfält för differentialekvationen: diff(y(x),x)=-x/y.
Kursens hemsidor är under uppbyggnad.
Studenter från Bio2 och K2, för vilka kursen valts, hälsas välkomna
till kursen SF1636(5B1210), Matematik IV.
Då kommer de första kapitlen i Zill-Cullen att behandlas.
Titta gärna i de tre första kapitlena i förväg.
(Förra årets kurshemsida finns tillgänglig via Grundkurser.2006.2007.)
Detta innebär i vårt fall att 5B1115, Matematik I, och 5B1116, Matematik II behärskas.
Ett nätbaserat stöd finns under följande länkar:
5B1115, Matematik I då det gäller envariabelanalys.
5B1116, Matematik II då det gäller linjär algebra och differentialdelen i flervariabelanalys.
För mer grundläggande finns det även KTH:s Sommarmatematik.
