KTH
Matematik
| Rekommenderade uppgifter | Inlämningsuppgifter | Matematikjour | Tentamensanmälan | Extentor |
| Resultat |
SF1633, Differentialekvationer I, 2008.2009.
Nyheter för CBIOT2 och CKEMV2 hösten 2008.
Nu finns resultatet på kompletteringsskrivningen den 9 februari 2009 tillgängligt via länken SF1633.20090209. Resultatet finns även tillgängligt under Resultat
Skrivningarna finns att hämta på studentexpeditionen.
Nu finns lösningsförslag till dagens kompletteringstentamen tillgängligt.
Det nås via länken SF1633.20090209.Svar.
Nu finns resultatet på tentamensskrivningen den 8 januari 2009 tillgängligt via länken SF1633.20090108.
Skrivningarna finns att hämta på studentexpeditionen.
De som erhållit 3 godkända moduler får möjlighet att komplettera till godkänt betyg
måndagen den 9 februari 2009.
Skrivtiden är 1815-1915. ( Skrivtid 60 minuter. Man sitter hela skrivtiden.
Skrivsal är F1.
Var ute i god tid !
Tentamensanmälan till julperiodens tentamina är öppen
|
Nu finns resultatet på kompletteringsskrivningen den 17 november 2008 tillgängligt via länken SF1633.20081117. Resultatet finns även tillgängligt under Resultat
Skrivningarna finns att hämta på studentexpeditionen.
Nu finns lösningsförslag till dagens tentamen.
Den nås via länken SF1633.Extentor. eller direkt SF1633.20081117.Svar.
Nu finns resultatet på tentamensskrivningen den 23 oktober 2008 tillgängligt via länken SF1633.20081023.
Skrivningarna finns att hämta på studentexpeditionen.
Vidare finns en länk för kompletteringen.
De som erhållit 3 godkända moduler får möjlighet att komplettera till godkänt betyg
måndagen den 17 november 2008.
Skrivtiden är 0900-1000. ( Skrivtid 60 minuter. Man sitter hela skrivtiden.
Skrivsal är F1.
Var ute i god tid !
Nu finns resultatet på del 1 tillgängligt via länken SF1633.20081023.Del 1.
De som erhållit 3 godkända moduler får möjlighet att komplettera till godkänt betyg
måndagen den 17 november 2008.
Återkommer om detaljerna.
Nu finns lösningsförslag till dagens tentamen.
Den nås via länken SF1633.Extentor. eller direkt SF1633.20081023.
OBS ! Det kan förekomma skrivfel i lösningsförslaget.
En sammanställning av modulerna 1-4 finns nu tillgängligt under Resultat eller direkt Modul 1-4.
OBS !
Kontrollera att det stämmer.
OBS!
Resultatet av KS3 finns nu tillgängligt under Resultat eller direkt KS3 .
Kontrollskrivningarna, KS3, finns nu på teknologexpeditionen.
OBS ! Det finns två anonyma kontrollskrivningar och två kontrollskrivningar utan styrkt identitet.
Dessa två personer saknade "leg".
Löst uppgift 8 på 5B1210.20080116
Löst ekvationen x*(diff(y(x),xx)-2(x+1)*diff(y(x),x)+(x+2)y(x))=0, x>0
med metoden "variation av parametrar.
Löst differentialekvationen
diff(y(t),tt)+9*y(t)=9*U(t-4), då diff(y(t),t)0y(t)=0 för t=0.
6. Härlett en partikulärlösning till ett inhomogent system
xprim=Ax+f
då en fundamentalmatris var given.
Bestämt allmänna lösningen.
Vidare tillämpades detta på följande exempel:
xprim =(1 ,4 ; 0,2) x+(exp(t), exp(t))
Löst klar uppgift Z.C.10.3.33.
Löst klar uppgift Z.C.10.1.24.
Löst följande uppgifter:
5. f(t)=1-2*int((exp(-3*tau))*f(t-tau) dtau, tau:0-->t).
Moduluppgift 3: Del av 2.c och moduluppgift 3:5.
Nu finns dagens KS tillgänglig KS3.
Löst uppgift Z.C.10.3.14.
Uppgiften löstes dels genom att linjarisera det icke-linjära systemet dels genom att betrakta systemet från den stationära punkten.
Med andra ord genom att införa nya koordinater.
Även fasporträttet konstruerades.
Löst uppgiften Z.C.10.3.30.
Påbörjat uppgift Z.C.10.3.33. Konstaterade att fasplanmetoden bör användas.
Diskuterat fasporträtt för stabil nod, degenererad stabil nod, stabil spiralpunkt, instabil spiralpunkt och centrum.
Stabilitetsundersökning av autonoma differentialekvationer.
Undersökt differentialekvationen diff(x(t),t)=(x-1)(x-2) med avseende på stabilitet.
Stabilitetsundersökning av icke-linjära system av autonoma differentialekvationer.
Taylorutveckling användes för linjarisering.
Fas-plan-metoden omtalades.
Löst uppgift Z.C.10.3.18.
Löst uppgift Z.C.8.3.23.(7:e uppl.)
Introduktion av autonoma system och stabilitet.
Diskuterat olkia lösningstyper: stationär punkt, båge och periodisk lösning.
Villkor för entydig stationär punkt.
Klassificerat de olika typerna av punkter:
stabil nod, instabil nod, sadelpunkt, degenererad stabil nod, degenererad instabil nod, stabil spiralpunkt, instabil spiralpunkt och centrum.
Sammanfattning angående stabilitet för linjära system med utgångspunkt från egenvärden.
Löst uppgifterna Z.C.10.1.16, Z.C.10.2.11 och Z.C.10.2.18.
Måndagens KS 3 äger rum för CBIOT- och CKEMV:s föreläsningsgrupp i salarna
Q22, 24, 26, 31, 33, 34, 36 enligt särskild lista.
Skrivtiden är 9.00-10.00. Var ute i god tid!
KS 3 på mandag galler det kapitel 4, 8 och 10 i kursboken.
BETA är tillåtet hjälpmedel.
OBS !
Tentamensanmälam är öppen fram till och med söndagen den 12 oktober 2008 kl 2400
OBS !
Genomgång av allmänna homogena lösningen till det homogena systemet.
Genomgång av fallen med
a) Skilda reella egenvärden.
b) Upprepade reella egenvärden.
c) Komplexa egenvärden.
Löst uppgifterna Z.C.8.2.2., Z.C.8.2.19. och Z.C.8.2.36.
Diskuterat olika typer av stationära punkter till systemet diff(X(t),t)=AX(t).
Däribland sadelpunkt, nod och spiral.
Genomgång av metoden "variation av parametrar för system".
Diskuterat plana autonoma system samt berört linjarisering av
systemet diffX(t),t)=g(X) med hjälp av Taylorutveckling.
Genomgång av metoden "variation av parametrar och presenterat en lösningsformel på matrisform.
Löst ekvationen x*(diff(y(x),xx)-2*diff(y(x),x)+y(x))=0, x>0 med metoden "variation av parametrar.
Diskuterat linjärt beroende/oberoende och infört begreppet fundamentallösningar.
Infört Wronskianen, Wronskideterminanten.
Redogjort för kopplingen mellan Wronskianen och linjärt oberoende lösningar.
Beskrivit lösningsstrukturen för linjära differentialekvationer.
Genomgång av allmänna homogena lösningen till det homogena systemet.
Genomgång av fallen med
a) Skilda reella egenvärden.
b) Upprepade reella egenvärden.
Kort översikt av modul 4.
Linjära egenskapen.
Reduktion av ordning, variation av parameter.
Bestämt fundamentalmängd av lösningar till ekvationen
x*(diff(y(x),xx)-2*diff(y(x),x)+y(x))=0, x>0.
Vidare har en partikulärlösning till ekvationen x*(diff(y(x),xx)-2*diff(y(x),x)+y(x))=exp(x), x>0
Härvid har metoden "reduktion av ordning" används.
Omformat differentialekvationen diff(y(x),xx)+y(x)=0 till ett linjärt system av första ordningen.
Bestämt egenvärdena och tillhörande egenvektorer till systemets matris.
Konstaterat att karakteristiska rötterna till differentialekvationen och egenvärdena är identiska.
Presenterat teorin för lösningarnas uppbyggnad.
Bestämt lösningarna till systemet:
diff(x(t),t)=a*x(t)
diff(y(t),t)=b*y(t)
Både ekvationerna och lösningarna har presenterats på matrisform.
Vidare har egenvärden och egenvektorer bestämts till systemets matris.
Resultatet av KS2 finns nu tillgängligt under Resultat eller direkt KS2 .
Kontrollskrivningarna, KS1, finns nu på teknologexpeditionen.
Nu är det dags att anmäla sig till tentamen på.
Tentamensanmälam är öppen för anmälan fram till och med
söndagen den 12 oktober 2008 kl 2400
Se till att ha kursval på kursen SF1633.
Boka redovisningstid för inlämningsuppgiften.
(Jag är bortrest imorgon fredag.)
Slutfört första delen av uppgift Z.C.11.3.28.
Den andra delen av uppgiften innebar en udda utvidgning av funktionen.
Löst uppgift Z.C.11.3.42. där en partikulärlösning till differentialekvationen
diff(x(t),tt)+x(t)=f(t) bestämdes.
Högerledet är en periodisk funktion och utvecklades i en cosinusserie.
Slutligen diskuterades uppgift Z.C.12.5.12.
Bestämt fourierkoefficienterna.
Särskilt har udda och jämna funktioner betraktats.
Konvergensförhållandena för fourierserier har diskuterats.
Löst uppgift Z.C.11.2.7. och kommenterat Gibbs fenomen.
Påbörjat Z.C.11.3.28 och därvid utvidgat en funktion till en jämn funktion.
Det är dags att boka redovisningstid för inlämningsuppgiften.
Bestämt allmänna lösningen till värmeledningsekvationen med hjälp av variabelseparationsmetoden.
Därefter bestämdes de lösningar som uppfyller randvillkoren:
diff(u(x,t),x){0,t)=diff(u(x,t),x){L,t)=0.
Vidare anpassades lösningen till begynnelsevillkoret u(x,0)=f(x).
Härvid har ett problem uppstått.
Nämnligen att uttrycka en funktion med hjälp av konstantterm och cosinustermer.
Detta ger oss anledning att studera trigonometriska fourierserier.
Definierat inre produkt. Visat ortogonalrelationerna.
Visat att funktionsföljden
{1, cos(Pix/p), cos(2Pix/p),...., cos(mPix/p),..., sin(Pix/p) , sin(2Pix/p), ....,sin(nPix/p), .... }
är ortogonal på intervallet (-p,p).
Definierat trigonometriska fourierserier
Kontrollskrivningarna, KS1, finns nu på teknologexpeditionen.
Nu finns dagens KS tillgänglig KS2.
Resultatet av KS1 finns nu tillgängligt under Resultat eller direkt KS1 .
Måndagens KS 2 äger rum för CBIOT- och CKEMV:s föreläsningsgrupp i salarna
Q11, 13, 15, 17, 21,22, 24,26, 31 enligt särskild lista.
Skrivtiden är 9.00-10.00. Var ute i god tid!
KS 2 pa mandag galler det kapitel 7 i kursboken.
BETA ar tillåtet hjälpmedel.
Löst färdigt uppgift Z.C.7.6.6
Introduktion av partiella differentialekvationer.
Infört variabelseparationsmetoden.
Löst följande partiella differentialekvation:
diff(u(x,y),x)=u(x,y)+diff(u(x,y),y)
med villkoret u(x,0)=5*exp(-3*x)-4*exp(x).
Använt variabelseparationsmetoden på vågekvationen.
De tre skilda fallen har undersökts.
Anpassat lösningarna till vågekvationen till randvillkoren u(0,t)=u(L,t)=0.
Anpassat dessa lösningar till begynnelsevillkoren:
Härvid har ett problem uppstått.
Nämnligen att uttrycka en funktion med hjälp av sinustermer.
Visat att en styckvis kontinuerlig funktion av exponentiell ordning har laplacetransform.
Diskuterat limF(s) då s gå mot oändligheten.
Visat laplacetransformen för periodiska funktioner.
Visat laplacetransformaen av faltningsintegralen.
Löst uppgift Z.C.7.5.12.
Påbörjat Z.C.7.6.6.
Löst följande uppgifter: Z.C.7.1.4., Z.C.7.2.8, , Z.C.7.2.16., Z.C.7.2.30., Z.C.7.3.16., Z.C.7.3.40., Z.C.7.4.38.(Z.C.7.4.36. i äldre upplaga) och Z.C.7.5.6.
Nu finns dagens KS tillgänglig KS1.
Vid KS 1 på måndag står det ett kodnummer på er skrivning.
Det kodnumret ska ni memorera.
Via det kommer ni kunna läsa era resultat på denna och följande ks:ar på kurshemsidan.
Måndagens KS 1 äger rum för CBIOT- och CKEMV:s föreläsningsgrupp i salarna
Q15, 17, 21,22, 24,26, 31-32 enligt särskild lista.
Skrivtiden är 9.00-10.00. Var ute i god tid!
KS 1 pa mandag galler de första tre kapitlen i kursboken. BETA ar tillåtet hjälpmedel.
Visat laplacetransformen för funktionen f(t-a)U(t-a).
Skisserat funktionerna f(t), f(t)U(t-a) och f(t-a)U(t-a).
Visat laplacetransformen för funktionen f(t)*exp(at).
Genomgång av laplacetransformen för t^n*f(t).
Bestämt laplacetransformen för funktionen fa(t)=(1/(2*a))*(U(t-(t0-a))-U(t-(t0+a))).
Genomfört gränsövergång då a går mot noll.
Därvid har vi erhållit laplacetransformen för Diracs deltafunktion.
Diskuterat faltningsintegralen och dess laplacetransform.
I facit till moduluppgifterna 1 har teknik spelat ett spratt.
Svaret till uppgift 7.b. skall vara T=10ln199.
Introduktion av integraltransformer, Laplacetransformer och Fouriertransformer.
Definierat laplacetransformen.
Presenterat laplacetransformens ideer.
Angivit laplactransformen för några funktioner.
Löst differentialekvationen diff(y(t),t)+9*y(t)=exp(2*t).
Definierat Heavisides stegfunktion U(t-a).
Introducerat funktionen fa(t)=(1/(2*a))*(U(t-(t0-a))-U(t-(t0+a))) samt ritat dess graf.
Diskuterat vad som händer då a går mot noll.
Infört begreppet exponentiell ordning.
Bestämt laplacetransformen för följande funktioner:
f(t)=1, f(t)=exp(at), f(t)=cos(at), f(t)=sin(at) och f(t)=t.
Visat laplacetransformen för första och andra derivatorna.
Transformerat differentialekvationen diff(y(t),t)-y(t)=exp(t) samt löst ut Y(s).
Diskuterat och löst följande "modelluppgifter":
Z.C.3.1.21.Tankproblem.
Z.C.3.2.5. Fiskepopulationsmodell.
Diskuterat kring "tankproblemen" Z.C.3.3.7. och Z.C.3.3.8.
Nästa föreläsning kommer att behandla Laplacetransformer.
Genomgång av Bernoullska differentialekvationer.
Löst Z.C.2.5.6.Z.C.2.5.16.
Diskuterat och löst följande "modelluppgifter":
Z.C.3.1.4. bakterietillväxt
Z.C.3.1.14. Newtons avsvalningslag.
Bestämt allmänna lösningen med hjälp av variation av parameter.
Detta innebär att den allmänna homogena lösningen bestämdes först.
Därefter ersattes den godtyckliga konstanten i den homogena lösningen med en funkton av x.
Insättning i den inhomogena diff.ekv. ger allmänna lösningen.
Löst Z.C.2.2.24. dels som separabel och dels via entydighetssatsen.
Löst diff.ekv.: x*diff(y(x),x)-2*y(x)=x^3 samt diskuterat existensintervall.
Genomfört substitutioner i några differentialekvationer.
Diff.ekv. med homogent högerled har överförts till separabel diff.ekv.
Presentation av kursen och dess innehåll.
Redogjort för kursupplägg och examination.
Introducerat några befolkningsmodeller och diskuterat modellernas lämplighet.
De två modellerna är:
a) relativa tillväxthastigheten konstant.
b) relativa tillväxthastigheten konstant minus (konstant gånger antalet individer).
Genomfört kvalitativ analys på dessa exempel.
Löst uppgift Z.C.1.3.10.
Diskuterat riktningsfält för differentialekvationen: diff(y(x),x)=-x/y.
Visat lösningsmetoden för separabla differentialekvationer och för linjära av första ordningen.
Nu finns extrauppgifter tillgängliga. De benämnes moduluppgifter.
De finns under länken Föreläsningsplan
Kursens hemsidor är under uppbyggnad.
Studenter från CBIOT2 och CKEMV2, för vilka kursen valts,
hälsas välkomna till kursen SF1633, Differentialekvationer I.
Titta gärna i förväg på kapitel 1-3 i Zill-Cullen.
Detta innebär i detta fall att envariabel, flervariabel och linjär algebra behärskas.
Ett nätbaserat stöd finns under följande länkar:
För mer grundläggande finns KTH:s Sommarmatematik.
För envariabel finns SF1643, Tal och funktioner och SF1644, Analys i en variabel .
För linjär algebra finns SF1645, Linjär algebra .
Då det gäller linjär algebra och differentialdelen i flervariabelanalys finns 5B1116, Matematik II.
