Kursplanering 5B1148  Flervariabelanalys för E , IT & ME, VT 2007

Fråga: vad som styr kursens inriktning och innehåll
Svar: Ibland träffar man på någon som tror att det är boken som definierar kursen, men det är en missuppfattning. Det är inte heller gamla tentor som definierar kursen. Det som styr är de mål som finns uppsatta i Högskoleförordningen för alla utbildningar och speciellt civilingenjörsutbildningen, samt de mål som KTH fastställt lokalt. Se Studiehandboken( se  nedan stående mål för varje modul)

Mål
Kursen behandlar sådana matematiska begrepp och metoder inom flervariabelanalys som används för att ställa upp och undersöka matematiska modeller i de tillämpade ämnena. De studerande skall bibringas såväl förståelse för begreppen som färdighet i att använda dem. Geometrisk och fysikalisk betydelse av införda begrepp studeras. Ett viktigt mål är att utbildningen skall leda till allmän förståelse av matematisk teoribyggnad i syfte att underlätta fortsatta studier inom högskolan eller i samband med yrkesverksamhet. Kursen ger också tillfälle till repetition och fördjupning av stora delar av analysen i en variabel och linjär algebra.

Innehåll
Allmänt om funktioner av flera variabler: funktionsytor, nivåytor, ytor i parameterform, kroklinjiga koordinater.

Partiella derivator. Differentierbarhet, tangentplan, felfortplantning. Kedjeregeln. Tillämpningar på partiella differentialekvationer. Gradient, riktningsderivata, nivåkurvor. Undersökning av stationära punkter. Kurvor, tangent, båglängd. Ytor, normalriktning, tangentplan. Funktionalmatris och funktionaldeterminant. Implicita funktioner.

Optimering på kompakta och icke-kompakta områden. Optimering med bivillkor.

Dubbel- och trippelintegraler. Itererad integration. Variabelbyte. Generaliserade integraler. Tillämpningar: volym, tröghetsmoment, tyngdpunkt.

Kurvintegraler. Greens formel med tillämpningar. Potential och exakt differential.

Litteratur
Persson A, Böiers L-C: Analys i flera variabler, kapitel 1-9. Studentlitteratur 2005 ( eller senare). Tredje upplagan 2005. ISBN 91-44-03869-0.
Dessutom används "Övningar i analys i flera variabler",  Lunds Tekniska Högskola 2005. Betecknas ÖFV.
Schema för Flervariabelanalys

Detta gäller även datum för kontrollskrivningar. Dessa ligger på den sista timmen av angiven övning.

Av angivna övningsuppgifter kommer några att gås igenom på föreläsningarna eller övningarna, och övriga är lämpliga för självstudium. "PB2" hänvisar till läroboken Persson-Böiers: Analys i flravariabler, och "ÖFV" till övningsboken.

[OBS!! Om föreläsaren inte hinner med ett visst avsnitt så är det studenten skyldighet att själv studera det  avsnittet som föreläsaren inte hunnits med.]

Förkunskaper till Flervariabelanalys

Några studieråd

Övningarna bör du i första hand utnyttja genom att ställa frågor och diskutera med övningsledarna eller studiekamrater. Det är viktigt att du utnyttjar ditt arbete effektivt så att du lär dig maximalt av varje övningsuppgift du arbetar med. Några små frågor du ställa dig själv då du löser övningsuppgifterna är:
•    Varför skall jag lösa denna uppgift? Vad skall jag lära av den? Vilken del av teorin skall uppgiften belysa?
•    Kan man ha en uppfattning om svaret utan att först lösa uppgiften? Då du löst en uppgift: är svaret rimligt?
•    Kan man lösa uppgiften på fler sätt? Hur ändras lösningen och svaret om man ändrar vissa parametrar/värden/uttryck?
•    Har jag förstått lösnings idén? Är idén allmängiltig? Har jag förstått teorin uppgiften skall belysa?
•    Då du är klart med uppgifterna till ett visst avsnitt: Finns det något jag behöver träna mer på? Något som inte kommit med?

Modul 1  Grundläggande begrepp: Förkunskaper

• Topologiska begrepp. Begrepp: omgivning, inre punkt, yttre punkt, randpunkt, öppen mängd, sluten mängd, begränsad mängd, kompakt mängd och sammanhängande mängd. Kunna rita upp en mängd som ges av enkla olikheter. Kunna avgöra om en sådan mängd är öppen, sluten, begränsad, kompakt respektive sammanhängande.
• Funktioner. För enkla funktioner: kunna bestämma definitionsmängden, kunna bestämma värdemängden, kunna skissera funktionsytan. Kunna skriva en elementär funktion som en sammansättning av enkla funktioner. Kunna beräkna sammansättningen av två funktioner och avgöra om detta går. Veta villkoret för när en funktion har en (global) invers.
• Gränsvärde. Kunna definitionen. Kunna visa att ett gränsvärde inte existerar genom att undersöka gränsvärdet längs räta linjer. Veta att gränsvärde längs räta linjer inte betyder att gränsvärdet måste existera. Kunna beräkna gränsvärde av en rationell funktion med polynomdivision. Kunna beräkna gränsvärde med instängningsprincipen.
• Kontinuitet. Kunna ställa upp villkoret för att en funktion är kontinuerlig. Veta att alla elementära funktioner är kontinuerliga där de är definierade.

• Partialderivata. Tolkning som lutning. Känna igen de olika beteckningssätten för första och högre ordningars derivator. Kunna beräkna första och högre ordningars partialderivator av elementära funktioner. Kunna beräkna gradienten av en elementär funktion och olika beteckningssätt. Kunna beräkna jakobianen av en elementär funktion och olika beteckningar.
• Kedjeregeln. Kunna använda kedjeregeln i de enkla specialfallen (t.ex. R¹ -> Rⁿ -> R¹, Rⁿ -> R¹ -> R¹, R^m -> Rⁿ -> R¹). Kunna ställa upp kedjeregeln med funktionsbeteckning. Kunna använda kedjeregeln i matrisform.
• Kunna ställa upp sambandet mellan en funktions uttryck i två olika koordinatsystem. Kunna bestämma sambandet mellan första och högre ordningars derivator i två olika koordinatsystem (via operatorformler)

Modul 2: Tillämpning av derivatan i fleravariable :Förkunskaper

• Linjarisering. Geometriskt som tangentplan. Kunna linjarisera en elementär funktion. Veta villkoret för att en funktion är differentierbar. Veta att kontinuerliga partialderivator i en omgivning ger differentierbarhet. Veta att elementära funktioner är differentierbara i inre punkter (inte riktigt sant).
• Sammansättning. Kunna linjarisera en sammansatt funktion med kedjeregeln.
• Lokal invers. Veta skillnaden mellan global och lokal invers. Kunna avgöra om en funktion har en lokal invers kring en punkt. Kunna beräkna jakobianen av inversen och linjarisera inversen.
• Riktningsderivata. Tolkning som tillväxt i en riktning. Kunna gradientformeln och veta när det gäller. Kunna räkna ut riktningsderivatan av en elementär funktion.

• Parameterkurvor. Kunna räkna ut riktningsvektorn. Kunna bestämma tangentlinjen. Kinetisk tolkning av riktningsvektorn. Kunna bestämma singulära punkter. Kunna avgöra om en kurva är regulär i en singulär punkt via enhetsriktningsvektorn.
• Nivåkurvor. Veta att gradienten är vinkelrät mot kurvan. Kunna bestämma tangentlinjen och normallinjen. Kunna bestämma singulära punkter. Veta att kurvan kan vara irregulär i punkter där gradienten är noll.
• Parameterytor. Kunna räkna ut en normalvektor. Veta att ytan kan vara irregulär i punkter där normalen är noll.
• Nivåytor. Veta att gradienten är vinkelrät mot ytan. Kunna bestämma tangentplanet och normallinjen. Kunna bestämma singulära punkter. Veta att ytan kan vara irregulär i punkter där gradienten är noll.

• Satsen. Kunna villkoret för när ett eller flera samband implicit definierar en funktion. Kunna beräkna derivatorna av den lokalt definierade funktionen.

• Kända utvecklingar. Kunna Maclaurinutvecklingarna för exp x, cos x, sin x, (1+x)^a, arctan x och log(1+x).
• Flera variabler. Kunna Taylors formel av ordning 2.
• Entydighetssatsen. Kunna använda satsen för att bestämma Taylorutvecklingen av enkla elementära funktioner. Kunna Taylorutveckla vektorvärda funktioner.

• Lokala extrempunkter. Veta de tre typerna av lokala extrempunkter (inre kritiska punkter, randpunkter och punkter där målfunktionen inte är regulär).
• Kritiska punkter. Kunna bestämma och klassificera kritiska punkter med Hessianen. Känna till att klassificeringen kan kräva fortsatt taylorutveckling.

Modul 3 Multipelintegraler :Förkunskaper

• Dubbelintegralens definition. Ytligt förstå definitionen. Tolkning av dubbelintegralen som volym.
• Begrepp. Linjaritet, additivitet, nollmängd, monotonicitet, triangelolikheten.
• Itererade enkelintegraler. Kunna beskriva områden i formerna {a<=x<=b, f₁(x)<=y<=f₂(x)} och {g₁(y)<=x<=g₂(y), c<=y<=d}, samt kunna omvandla mellan dessa former. Kunna ställa upp dubbelintegraler som itererade enkelintegraler och veta villkoren för när de har samma värde. Kunna byta integrationsordning. Kunna beräkna dubbelintegraler med itererade enkelintegraler över områden som är enkla i något led.
• Variabelsubstitution. Förstå varför funktionaldeterminanten dyker upp i formeln. Förstå villkoren för variabelsubstitution (kontinuerligt deriverbar, inverterbar och nollskild funktionaldeterminant). Kunna utföra en variabelsubstitution givet själva substitutionen. Kunna beräkna dubbelintegraler med linjär och polär substitution.
• Tillämpningar. Area i planet, area av buktig yta (både funktionsyta och parameteryta). Beräkning av tyngdpunkt, kraftmoment och yttröghetsmoment.
• Generaliserade dubbelintegraler. Begrepp: Absolutkonvergens. Kunna avgöra konvergens med majorantprincipen i enkla fall.

• Trippelintegralens definition. Ytligt förstå definitionen.
• Itererade enkelintegraler. Kunna beskriva områden i olika iterativa former {a<=x<=b, c<=y<=d, f₁(x,y)<=z<=f₂(x,y)}, {a<=x<=b, g₁(x)<=y<=g₂(x), h₁(x,y)<=z<=h₂(x,y)} o.s.v. Kunna ställa upp en trippelintegral som itererade integraler och veta villkoren för när de har samma värde. Kunna beräkna trippelintegraler via itererade integraler.
• Variabelsubstitution. Förstå varför funktionaldeterminanten dyker upp i formeln. Förstå villkoren för variabelsubstitution. Kunna beräkna trippelintegraler genom övergång till linjära, cylindriska och sfäriska koordinater.
• Tillämpningar. Volym av ett område, massa och tyngdpunkt av en kropp, tröghetsmoment.
• Generaliserade trippelintegraler. Kunna använda majorantprincipen i enkla fall.

Modul 4  Optimering-Kurvintegraler: Förkunskaper

• Randpunkter. Kunna bestämma lokala extrempunkter på randen med Lagranges metod, dels som ett parallellitetsvillkor mellan två vektorer, dels med Lagrangefunktionen. Veta att randkurvans singulära punkter måste undersökas separat.
• Max- och minproblem. Veta att en kontinuerlig funktion på ett kompakt område antar ett största resp. minsta värde. Kunna bestämma max/min av en funktion på ett område som ges av en olikhet g=<0. Samma problem på ett polygonområde (t.ex. triangel). Samma problem på ett område som ges av högst två krökta randkurvor. Veta att om området är obegränsat måste gränsvärden undersökas.
• Värdemängd. Kunna bestämma värdemängden till en funktion i områden av ovanstående typ (med korrekt hänvisning till satsen om mellanliggande värden).

Föreläsn/övn/ Lappskr.nr.	Tid	Sal	Teori	Förslag till övningsexempel
F19	24/4: 13-15	Aula	Optimering på Kompakta områden: §4.1	4.1.4.3,4.5,4.8,4.11-13,4.15,4.17,4.19-23
F20	25/4: 10-12	Aula	Optimering på icke Kompakta områden: §4.2 material4.1	4.1.4.3,4.5,4.8,4.11-13,4.15,4.17,4.19-23
Ö10	25/4: 13-15	530 532		Välj favorit tal ur F18-19
F 21	27/4: 10-12	Aula	Optimering med bivillkor § 4.3 material4.1	4.25-27, 4.29-34, 4.40-4.48
F22	2/5: 10-12	Aula	Kurvintegraler,parmetrisering §9.1	9.1-15
Ö11	2/5: 13-15	530 532	Här finns material om modul 3 Material4.2 Material4.3 Material 4.4	Välj favorit tal ur F21-22
F23	7/5: 15-17	Aula	Greens formel i planet § 9.2-9.3	9.1-15
F 24	8/5: 10-12		Potentialer  §9.4	9.18, 9.23, 9.29, 9.31, 9.35, 9.36, 9.46, 9.50, 9.51
Ö12	8/5: 13-16	530 532	KS4 13.15-14.15Här är gamla KS och här en till	Välj favoit tal ur ovan KS4 består avTRE  tal som testar  de ovan föreslagna talen= Övningsexempel från ÖFV.
F15	9/5: 10-12		MATLAB-redovisning
Tentamen	24/5: 14.00-19.00	E33, E34, E35,E36,E51, E52, E53 GLÖM INTE ATT ANMÄLA 14 DAGAR INNAN

Sidansvarig: karim Daho Uppdateras kontinuerligt