Aktuella meddelanden

• Tentamensresultat [2005-03-21] Tentamensresultatet finns nu anslaget på matematisk statistiks anslagstavla i entréplanet, Lindstedtsvägen 25, rakt fram innanför porten.
• Kursutvärdering [2005-03-17] Nu är kursutvärderingen avslutad. Här finns resultatet.
• Tentamen [2005-03-08] Dagens tentamen med lösningar.

• [2005-02-23] Avslutade hypotesprövning. Gav en översikt på olika testförfaranden såsom allmän metod (med expel på speicalfallet t-test), konfidensmedoten och P-värdesmetoden. Skiljde på fallen med dubbelsidig resp. enkelsidig mothypotes. För konfidensmetoden påverkar detta huruvida motsvarande konfidensintervall ska väljas begränsat eller halvoändligt.

  Genomgång av χ²-test. Testet (med varianter) används för att testa hypoteser som uttalar sig om endera

  1. givna kategoriandelar,
  2. data tillhör någon diskret fördelningsfamilj (ingående parametrar skattas)
  3. likafördelning mellan flera populationer,
  4. obeoende mellan flera populationer.
  Bekrev idén bakom teststorheten Q, dess fördelning under nollhypotesen och hur det observerade värdet kan tolkas. Skissade ett räkneexempel med hypotes rörande ögonfärg i kategorierna Blå, Brun och Grön. Visade ett exempel på homogenitetstest (specialfall 3 ovan) med lönestatistik uppdelat på kvinnor och män, där hypotesen om likafördelning kunde förkastas. Ungefärligt innehåll för avsnittet om χ²-test.

  Kapitel 14, Regressionsanalys. Beskrev modellen för enkel linjär regression och hur man MK-skattar parametrarna i denna modell. Konfidensintervall för regressionslinjens parametrar α och β. Test av perfekt linjäritet, dvs om interceptet α är noll.

  Mycket av vår behandling av regressionsanalys är räkning och bäst lär man sig detta avsnitt genom att räkna ett par uppgifter (där man använder formelsamlingen intensivt).

  Här ett genomräknat exempel med tillämpning på börsindex.

• [2005-02-21] Avrundade kapitel 12 med två exempel. Först en diskussion kring exemplet opiniosundersökning och hur man statistiskt påvisar en förändring av väljarstödet mellan två undersökningstillfällen. Därefter ett exempel med skillnad på analysmetod vid bestämning av alkoholhalt i öl. Dels i fallet "två oberoende stickprov" (olika prover) och dels i fallet "stickprov i par" (båda analysmetoderna på samma prover). Se till att kunna skilja på dessa två modellsituaitoner!

  Kapitel 13, Hypotesprövning. Först lite allmänt om upplägget i hypotesprövningssituationer, termer som nollhypotes, mothypotes, testvariabel, kritiskt område, signifikansnivå (α). Fel av första resp. andra slaget (α resp. β). Styrkefunktionen. Styrkan hos ett test är dess förmåga att förkasta felaktiga hypoteser. Man beräknar normalt sett styrkefunktionen vid dimensioneringen av testet (bestämma n) så att testet uppfyller de krav man har.

  Räknade igenom ett exempel om en misstänkt falsk tärning och om hur man ställer upp hypoteser, väljer testvariabel och kritiskt område.

  Här ett bra och belysande exempel på hypotesprövning som rör rattfylleri. Här ett annat som rör astrologi.

  Mer om hypotespröning presenteras vid den sista föreläsningen, speciellt χ²-test (test av fördelning).

• [2005-02-16] Fortsatte kapitel 12 om Intervallskattning (dvs konfidensintervall eller osäkerhetsintervall) med lite repitition. Presenterade en allmän metod att konstruera konfidensintervall via en smart vald så kallad pivot-variabel. Exemplifierades på situationen med oberoende observationer på en N(μ,σ)-fördelning med okänt μ och okänt σ, i de två fallen att vi vill konstruera konfidens intervall för respektive parameter.

  Lite om χ²-fördelningen och t-fördelningen.

  Två normalfördelade stickprov. Fallet med två oberoende stickprov där man intresserar sig för skillnaden i väntevärde, dvs. θ=μ2-μ1. Polning av variansskattningar.

  • Att beräkna konfidensintervall med hjälp av formelsamlingen. OBS! Ej hjälpmedel på tentan!
  • Konfidensintervall för medianen i en godtycklig fördelning.

  Kapitel 12 kommer avrundas i början av nästa föreläsning.

• [2005-02-14] Fortsättning på kapitel 11. Att jämföra två punktskattningar. Effektivitet. Medelkvadratfel (MSE). Uppdelning av systematiskt fel och slumpmässigt fel i skattningar.

  Allmänna skattningsmetoder såsom Maximum likelihhod-metoden och Minsta kvadrat-metoden. ML-metoden exemplifierad på en dataström av 1:or och 0:or med okänd 1-frekvens.

  Felfortplantning. Gauss approximationsformler och samband mellan medelfel för funktioner av skattningar.

  Kapitel 12 om Intervallskattning. I detta kapitel är idén att statistikern svarar med ett intervall i stället för en punkt på uppmaningen: gissa parametern θ. Svarets tolkning kan då göras matematiskt exakt. Definition av konfidensintervall. Exempel på normalfördelade data där σ är känd men inte väntevärdet (dvs θ=μ). Begreppet pivot-kvantitet. Tolkning av konfidensintervall.

  Ungefärligt innehåll om punktskattningar (kapitel 11).

• [2005-02-09] Kapitel 10 om beskrivande statistik. Lägesmåtten medelvärde, median och kvartiler. Boxplot. Spridningsmåtten stickprovsvarians (s²) och sticksprovsstandardavvikelse (s).

  Kapitel 11 om punktskattningar. Begreppet stickprovsvariabel och hur modellen speglar verkligheten. Egenskaper hos skattningar såsom väntevärdesriktighet, konsistens. Begreppet medelfel. Exemplifiering med opinionsundersökning och punktskattning av andelen partisympatisörer, med tillhörande egenskaper.

  Att aritmetiskt medelvärde ("x-struket") och stickprovsstandardavvikelse (s) kan användas som lämpliga skattningar av väntrevärde respektive standardavvikelse då man har oberoende likafördelade observationer. Den förra är väntevärdesriktig, men inte den senare. Båda är konsistenta.

  Notera att kapitel 8 (Slumptal och simulering) ej ingår i kursen och att kapitel 9 (Introduktion till statistikteorin) läses på egen hand.

• [2005-02-07] Avslutade kapitel 7 om binomialfördelningen och dess släktingar. Behandlade hypergeometrisk fördelning och Poissionfördelning vad gäller uppkomst, väntevärde och varians. Visade satsen om att summan av oberoende Poissonfördelade s.v. blir en ny Poissionfördelad s.v. Diskuterade hur man kan Poisson-approximera en binomialfördelning om p är litet (≤0.1). Detta kan förklara den ymniga förekomsten av Poisson-fördelning vad gäller "sällsynta" händelser som flygolyckor, bränder, bilolyckor och telefon-anrop. Här en feluppskattning för denna approximation.

  Illustration av approximationen för Bin(25,0.2), Bin(50,0.1) och Bin(500,0.01) vad gäller approximation med Po(5)-fördelningen.

  Avslutade med ett antal andra användbara approximationer. Diskuterade hur approximationen kan förbättras med halvkorrektion då en diskret fördelning approximeras med en kontinuerlig.

• [2005-02-02] Kapitel 6 om normalfördelningen med presentation av täthet, väntevärde och varians. Den viktiga satsen att en linjärkombination (t.ex. summor) av oberoende normalfördelningar blir en ny normalfördelning (med parametrar givna av räknereglerna för väntevärde och varians). Ett specialfall av ovanstående linjärkombinationsegenskap är transformationsegenskapen att om X är N(μ,σ) så är (X-μ)/σ N(0,1)-fördelad och omvänt. Används för att beräkna sannolikheter rörande normalfördelningen.

  Centrala gränsvärdessatsen, CGS (Sats 6.8) gicks igenom med tolkningen som en förfining av Stora talens lag (Sats 5.12). CGS är viktig, och särskilt användbar då man har summor av ett stort antal oberoende och likafördelade stokastiska variabler. Här ett exempel med summan av 100 tärningskast. Det viktiga med CGS är att summan i satsen blir approximativt normalfördelad trots att inga fördelningsantaganden på termerna finns (annat än att de ska ha varians). Detta förklarar det (något förvånande) fenomenet att många storheter som mäts visar normalfördelningsvariation.

  Här ett bevis av Centrala gränsvärdessatsen med transformmetoder (ingår ej i kursen).

  Kapitel 7 om binomialfördelningen och dess släktingar. Binomilafördelningen uppkommer som fördelningen för den s.v. som räknar antalet lyckade försök då man gör n oberoende försök vars sannolikhet varje gång är p att lyckas. Framställningen av binomialfördelningen som summan av Bernoulli-fördelade s.v. och hur detta kan användas för att bestämma binomialfördelningens väntevärde och varians, np resp. np(1-p).

• [2005-01-31] Fortsatte på kapitel 5 om väntevärden och avslutade det. Temat för dagen var att ta fram räkneregler för väntevärdes- och variansberäkning. Satserna 5.1 (den aningslöse statistikerns sats) och 5.2 diskuterades och som tillämpning bevisades satserna 5.3 och 5.4 om väntevärdet för en summa resp. produkt av två stokastiska variabler (i det senare fallet antogs de vara oberoende). En rolig tillämpning på sambandet mellan väntevärden och spel finns i den s k St Petersburgsparadoxen.

  Definitionen av varians repeterades och den viktiga satsen (Steiners sats) V(X)=E(X²)-E(X)² bevisades och exemplifierades på exponentialfördelningen. Räkneregler för variansen för summan/differensen av två s.v. i allmänna fallet med kovariansterm (Sats 5.10).

  Definition av kovarians som beroendemått och diskussion hur kovariansen och korrelationskoefficienten mäter graden av linjärt beroende mellan två s.v.

• [2005-01-26] Kapitel 4 om flerdimensionella stokastiska variabler med särskild tonvikt på tvådimensionella variabler. Exempel med hoppande partikel. Begreppen simultan fördelning och marginalfördelning. Definition av oberoende stokastiska variabler (Definition 4.6). Satsen 4.1 om ekvivalensen mellan oberoende s.v. och faktorisering av simultana fördelningsfunktionen F och motsvarande för tätheten f resp. sannolikhetsfunktionen p. Avsnitten 4.6-4.8 läses in på egen hand. Avsnitt 4.6 (min och max av flera oberoende s.v.) är viktigt.

  Kapitel 5 om väntevärden. Definition av väntevärde med dess tolkningar som

  • Viktat medelvärde
  • Tyngdpunkt i sannolikhetsfördelningen
  • Medelvärde av "många" oberoende upprepningar
  Den intresserade studenten kan här läsa mer om ett alternativt (och ibland mycket användbart) sätt att att beräkna väntevärde.

  Definition av varians och standardavvikelse med exempel på tärningskast. Tolkning som spridningsmått.

  Nästa föreläsning behandlar resten av kapitel 5, dvs framförallt räkneregler, stora talens lag och beroendemått mellan två s.v.

  Ungefärligt innehåll av föreläsning 4 (och delar av kommande föreläsning 5).

• [2005-01-24] Kapitel 3. Gick igenom det centrala begreppet stokastiska variabel (s.v.) med exempel på diskreta s.v. i fallen
  • summan av två tärningskast
  • antalet tärningskast t o m första 6:an (ffg(1/6)-fördelning)
  • antalet 6:or i 20 tärningskast (Bin(20,1/6)-fördelning)
  OBS! Hypergeometrisk fördelning och Poissonfördelning behandlades inte, men går att läsa om i boken. Vi återkommer senare till dessa fördelningar. Här är sannolikhetsfunktioner av Po(5)-fördelningen och Po(1.5)-fördelningen.

  Kontinuerlig fördelning med exempel om likformig fördelning, exponentialfördelning och normalfördelning. Definition av täthetsfunktion (f) och fördelningsfuktion (F) med tillhörande tolkningar och egenskaper.

  Begreppen kvantil och intensitet (avsnitt 3.8) gicks ej igenom. Ej heller avsnitt 3.9 och 3.10, Blandning av stokastiska variabler resp. Funktioner av en stokastisk variabel. Dessa avsnitt ingår förstås i kursen ändå.

• [2005-01-19] Avslutade kombinatorikavsnittet med härledning av antalet sätt att bland n olika objekt välja ut k stycken i fallen
  • med återläggning och med hänsyn till ordning,
  • utan återläggning och med hänsyn till ordning,
  • utan återläggning och utan hänsyn till ordning,
  • med återläggning och utan hänsyn till ordning (härleddes ej). Här är en härledning.
  Som exempel gavs bl a hur man beräknar antalet möjliga pokerhänder och i samband med detta även hur man räknar ut sannolikheten att få t ex en "straight flush" (färgstege) i given.

  Definition och tolkning av begreppet betingad sannolikhet och detsamma för begreppet oberoende händelser. Lagen om total sannolikhet samt Bayes sats om hur man vänder på betingningar.

  Ungefärligt innehåll av föreläsning 2.

  För den intresserade: Betingade sannolikheter och Bayes sats kan användas för att analysera "bilen och getterna" som var ett problem som diskuterades i pressen för några år sedan. Problemet går även under namnet 'the Monty Hall problem' då det först förekom i en TV-show ledd av Monty Hall (google ger ca 49000 träffar på sökordet "Monty Hall"!). På denna länk finns goda exempel på hur även duktiga matematiker kan tänka fel i detta problem. Sidan bjuder också på ett java-program där man själv kan testa Monty Hall-problemet.

• [2005-01-17] Avsnitten 2.1-2.4 med vissa delar av 2.5 gicks igenom. Speciellt grundbegreppen elementarutfall, utfallsrum och händelse. Mängdoperationer som snitt, union, komplementbildning samt räkneregler för dessa (t ex de Morgans lagar). Kolmogorovs axiomsystem med masstolkning samt sambandet med relativa frekvenser. Den viktiga satsen 2.2 för beräkning av sannolikheten för en union av två händelser. Sannolikheter i diskreta utfallsrum där diskret = ändlig eller uppräkneligt oändlig (om uppräknelighet). Klassisk sannolikhetsdefinition med tillämpning på kast med två tärningar. Något om kombinatorik, multiplikationsprincipen och urnmodeller.

Gamla meddelanden

• Kursutvärdering [2005-03-08] Vänligen fyll i kursutvärderingen. I nuläget har cirka 30 personer besvarat den. Resultatet kommer redovisas här inom en vecka.
• Korrigering [2005-02-28] Lösningarna till två regressionsuppgifter (14.1 och 14.5) har korrigerats. Tack Robin E.
• Kursutvärdering [2005-02-23] En kursutvärdering ligger nu uppe. Vänligen fyll i den!
• Räknestuga [2005-02-23] En räknestuga kommer att anordas tisdagen den 1 mars kl. 16-18 i sal V22. Där finns då tillfälle för studenter att räkna och ställa frågor.
• Lösningar [2005-02-21] Fullständiga lösningar till valda uppgifter ur läroboken, kap 2-7 och kap 11-14 finns nu tillgängliga.
• Lösningar [2005-02-09] Fullständiga lösningar till valda uppgifter ur läroboken, kap 2-7, finns nu tillgängliga.
• Schemaändring [2005-01-24]. Övningsgruppen för B3 har fått byta lektionssal då gruppen är större än beräknat. De nya lektionslokalerna finner du i det uppdaterade övningsschemat.
• Indragen övningsgrupp [2005-01-17] Övningsgrupp 3 för I2 är indragen. Se övningsschemat för att se i vilka salar övningsundervisning kommer att hållas.
• Tidigare kursutvärdering En gammal kursutvärdering av denna kurs för B och I (och Media).

Allmänna anvisningar: Finns även i utskriftsvänligt pdf-format.

Kursinformation
http://www.math.kth.se/matstat/gru/5b1501/B/ (för B3)
http://www.math.kth.se/matstat/gru/5b1501/I/ (för I2)

Kurslitteratur

1. Gunnar Blom m.fl.: Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar. Studentlitteratur, Lund, 2005 (5:e upplagan). Boken finns att köpa i Kårbokhandeln, Osquars Backe 21. (pris 370:-)
2. Kursmapp (pris 10:-) innehållande:
   1. Föreläsnings- och övningsplaner. Schema.
   2. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik.

Rekommenderad litteratur

3. Göran Rundqvist: Kompendium för grundkurs i matematisk statistik. Pris 15:-.

(2) och (3) kan köpas på Elevexpeditionen, Lindstedtsvägen 25, entréplanet, rakt fram innanför porten. Elevexpeditionen är under terminstid öppen på följande tider: måndagar kl. 9.30 - 11.30 och 13.00 - 16.30, tisdagar kl. 9.30 - 13.15 samt onsdagar och torsdagar kl. 9.30 - 12.00. Elevexpeditionen är stängd på fredagar.

Gamla tentamina med lösningar finns på kursens hemsida.

Kursomfattning

Examination
Tentamen består av sex problemlösningsuppgifter, och tentamenstiden är fem timmar. Varje korrekt löst uppgift ger 10 poäng. På tentamen sätts betyg enligt följande riktlinjer. Från dessa riktlinjer kan avsteg göras.

Tillåtna hjälpmedel vid tentamen är fickkalkylator (dock ej manual till kalkylatorn) och formel- och tabellsamlingen (2b). Varje tentand måste medföra en egen fickkalkylator. Institutionen har ingen möjlighet att låna ut kalkylator vid tentamen. Institutionen lånar ut formel- och tabellsamlingen (2b) vid tentamen, eget exemplar av denna får inte användas.

Observera: Mathematics Handbook for Science and Engineering (tidigare kallad Beta Mathematics Handbook) av Lennart Råde och Bertil Westergren är inte tillåtet hjälpmedel vid tentamen.

Anmälan till tentamen är obligatorisk och skall i första hand göras via "Mina sidor", som nås via KTHs hemsida. Anmälningslistor kommer även att sättas upp dels på Matematisk statistiks anslagstavla i entréplanet, Lindstedtsvägen 25, rakt fram innanför porten, dels på B3:s anslagstavla i Materialvetenskapsbyggnaden, Brinellvägen 23, b.v. Information kommer att finnas på kursens hemsida.

Tentamensresultatet anslås senast tre veckor efter tentamen på Matematisk statistiks anslagstavla i entréplanet, Lindstedtsvägen 25, rakt fram innanför porten. Om det inte finns plats på själva tavlan, finns resultatlistorna i ringarna längst ned på tavlan. Därefter visas tentamina på Elevexpeditionen. Tentamina kommer att vara tillgängliga där från och med den tidpunkt då tentamensresultatet anslås och till och med sju veckor efter den dag då tentamen ägde rum. När tentamina visas på Elevexpeditionen är varje tentamen hophäftad. Den som vill klaga på bedömningen av tentamen får inte ta bort något häftklammer.

Examinator: Per Hallberg, rum 3437, Lindstedtsvägen 13, 1 tr., telefon 790 6911, e-post perh@math.kth.se.