5B1304, Matematik påbyggnadskurs, 5 poäng, VT2004.

• Beta, Mathematics Handbook,
• Kursböckerna från den här och från tidigare matematikkurser,
• Föreläsningsanteckningar,
• Räknedosa utan CAS ("Computer Algebra System" = automatisk formelbehandling).
• Gamla tentor med lösningar är INTE tillåtna.

• Fredag 16/1: Kursboken finns nu att köpa på Kårbokhandeln. Priset är 510 kr
• Föreläsning måndag 19/1: Vi pratade om första ordningens ordinära differentialekvationer.  Stycke 1.2 handlar om riktningsfält som ger en geometrisk tolkning av lösningarna till en sådan ekvation. I stycke 1.9 behandlas existens och entydighet för lösningar till begynnelsevärdesproblem. Läs stycket om Picard-iteration på sid. 56-58, speciellt ex. 3. Här finns exempel på Maple-kommando för att rita riktningsfält. Rita egna riktningsfält med Maple och studera hur stora intervall som lösningarna kan fortsättas till. Vad är det som kan "stoppa" en lösningskurva? Jämför med satserna om existens och entydighet. Stycke 1.3 handlar om separabla differentialekvationer samt ekvationer som kan reduceras till att bli separabla. Stycke 1.5 behandlar exakta differentialekvationer.
• Föreläsning fredag 23/1: Exakta ekvationer, integrerande faktor. Läs sid 29-31 om integrerande faktorer (metoderna är svåra att använda i praktiken eftersom det är svårt att från början "se" om villkoren i Sats 1&2 är uppfyllda). Linjära ekvationer av första ordningen. Substitutioner som reducerar till exakt eller linjär ekvation. Reduktion av ordningen för andra ordningens linjära ekvationer; om vi känner till en lösning så kan vi bestämma en andra (linjärt oberoende) lösning. Det material vi gått igenom hittills är mest repetition från kursen Diff&Trans och därför finns inte så väldigt många läxuppgifter rekommenderade. Om det vi gjort känns obekant så måste ni som repetition lösa fler uppgifter!
• Föreläsning måndag 26/1: Vi har nu gått igenom de huvudsakliga delarna av Kapitel 2. De stycken vi inte pratat om på föreläsningen får ni läsa in själva. Stycke 2.1 handlar om allmän teori för homogena linjära ekvationer. I stycke 2.2 behandlas ekvationer med konstanta koefficienter (varför dyker komplexa rötter nödvändigtvis upp i konjugerade par? varför innehåller motsvarande lösningar cos och sin? läs stycke 2.3). Avsnitt 2.4 behandlar Differentialoperatorer. Detta är i första hand ett skrivsätt som förenklar allmänna resonemang kring differentialekvationer (se tex. Sats 1, sid 101). I avsnitt 2.6 lär vi oss att lösa Euler-Cauchy-ekvationer. Läs igenom beräkningarna för fall I-III på sid 94-95. I  stycke 2.7 införs Wronskianen. Läs satserna 1-4. I stycke 2.8 behandlas allmän teori för inhomogena linjära ekvationer. Se till att ni verkligen begriper hur slutsatsen "Practical Conclusion" på sid 102 följer av diskussionen sid 101-102. Avsnitt 2.9 beskriver ansatser för att hitta partikulärlösningar. Slutligen; stycke 2.10 ger en allmän metod att hitta partikulärlösningar givet att man har en bas av lösningar till motsvarande homogena ekvation. Läs igenom konstruktionen "Idea of the Method" på sid 109-111. 
• Torsdag 29/1: Se info om Matematikjouren ovan.
• Föreläsning fredag 30/1: Problemlösning, kap 1&2.
• Föreläsning måndag 2/2: Vi började på kapitel 4 om serielösningar av differentialekvationer. Syftet med att införa potensserier är att vi kan handskas med en mycket större klass av funktioner än de som ges av "elementära formeluttryck" (dvs kombinationer av polynom, trigonometriska funktioner, exponentialfunktioner, logaritmer). Vi kan alltså lösa fler differentialekvationer om vi letar efter lösningarna som potensserier. Samtidigt kan man utföra någorlunda explicita beräkningar, både för hand och numeriskt med dator. Nackdelen är att beräkningarna blir långa och det är inte alltid så lätt att se vad för funktioner man får som resultat. Läs stycke 4.1. Även för de enkla exemplen 1-3, sid 196-198, så blir beräkningarna ganska omständiga. I stycke 4.2 sammanfattas den grundläggande teorin för potensserier, partialsummor, konvergens/divergens, konvergensradie. Läs exempel 4, sid 201. Avsnittet "Operations on Power Series" innehåller ett antal räkneregler som är uppenbara för tex. ändliga polynom, men ej självklara för potensserier. 
• Föreläsning fredag 6/2: Räknade ett exempel på potensserielösning av differentialekvation (6, sid 204). Vi började titta på Legendres ekvation. En motivation för att studera denna ekvation finns i stycke 11.11, speciellt sid 637-638 och ekv (15). Jämför med tex. stycke 11.5 där separation av variabler leder till ekv (6), sid 601, och funktionerna sin(px). Legendres ekvation har lösningar på potensserieform. Läs igenom beräkningen av koefficienterna (sid 205-206) åtminstone en gång. För heltalsparameter n så har Legendre-ekvationen en polynomlösning. Detta polynom består av jämna termer om n är jämnt och av udda termer om n är udda. På lektionen beräknade vi P_0 och P_2. Som en läxuppgift är det bra att utföra beräkningarna för P_0 till  P_5, se (11') sid 208. (Se ovan för länkar till Engelsk-Svenska ordlistor.)
• Föreläsning måndag 9/2: Med hjälp av Frobenius metod kan man hitta serielösningar till en viss typ av ekvationer som inte har analytiska koefficienter, stycke 4.4. Detta generaliserar Euler-Cauchy-ekvationer från stycke 2.6. Bessels ekvation i stycke 4.5 kan lösas med denna ansats. Läs igenom beräkningarna sid 218-220. Slutet av 4.5 (sid 221-225 och uppgifterna 11, 13, 25, 26) liksom stycke 4.6 får betecknas som "överkurs", läs åtminstone igenom för att få en överblick. En motivation för Bessels ekvation och Besselfunktionerna ges i stycke 11.10 om vågekvationen för ett cirkulärt membran.
• Föreläsning fredag 13/2: Stycke 4.7: Sturm-Liouville-problem sammanfattar flera intressanta randvärdesproblem, speciellt "svängande pendel", Legendres ekvation och Bessels ekvation. Lösningarna till ett Sturm-Liouville-problem består av en följd av egenfunktioner och egenvärden numrerade av n=0,1,2,... Dessa funktioner är ortogonala med avseende på en viktsfunktion. Läs beviset av Sats 1, sid 236; speciellt hur randvillkoret utnyttjas. Stycke 4.8 handlar om hur ortogonalitet kan användas för serieutveckling: varje Sturm-Liouville-problem har sin egen "Fourierserieutveckling". Det är viktigt (och intressant!) att begripa härledningen på sid. 240-241. Beta stycke 12.1 (sid 255-257) har en bra sammanfattning av teorin. Det klassiska exemplet är Fourierserieutveckling, det första "nya" exemplet är utveckling av en funktion på [-1,1] i Legendrepolynom. Läs exempel 2 (sid 242-243) noga. Beta stycke 12.2 (sid 259) har alla nödvändiga formler. Här är exempel på Legendre-utveckling i Maple, för att utveckla andra funktioner byt ut "exp(x)" överallt. Prova olika ordning av utvecklingen. Observera den stora skillnaden mellan två sorters polynomapproximation: Legendreutveckling (ger approximation med minsta kvadratiska medelfel, dvs. ungefär lika bra på hela intervallet) och Taylorutveckling (ger bra approximation vid en punkt, sämre över intervall). I Beta hittar vi också andra exempel på nya serieutvecklingar: Chebyshevpolynom, Hermitepolynom etc. (sid. 260-). Avsnittet om fullständighet (sid. 243-245) hann jag inte nämna på lektionen. Läs igenom tillsammans med rutan 5.-8. (sid. 257) i Beta. 
• Föreläsning måndag 16/2: Laplace-transformen (stycke 5.1-5.4): definition, derivata <-> mult. med variabel (s. 258, 275), förskjutning <-> mult. med exponentialfunktion (s. 253, 267). Lösning av differentialekvation med styckvis definierad funktion i högerledet.
• Onsdag 18/2, information om kontrollskrivningen: Kontrollskrivningen äger rum tisdag 2/3, 15.15-16.15 i sal Q33. Det kommer frågor på kapitel 1, 2, 4 och 5. För enkelhets skull är tillåtna hjälpmedel denna gång endast kursboken samt Beta.
• Föreläsning fredag 20/2: Fortsättning om Laplace-transformen. Faltning av funktioner ger produkt av transformer. Läs sid 281-283, speciellt exempel 4. Lösningen till en inhomogen differentialekvation ges av en faltning med högerledet, se formel 4 sid 282 (observera villkoren på sidan innan). Diracs deltafunktion sid 270-273. Vi tittade på hur man kan lösa vågekvationen med en Laplace-transform, detta står precis i stycke 11.12, sid 643-645. Läs detta stycke noggrannt och ordentligt, många partiella differentialekvationer löses efter liknande mönster (fast kanske med andra "transformer"). Det är ganska många steg i beräkningarna, men ingenstans direkt komplicerat.
• Föreläsningar måndag 23/2 & fredag 27/2: (Föreläsningar av Eike Petermann) Fourierserier och Fouriertransformer. Stycke 10.1-10.7 handlar om Fourierserier, vilket till största delen borde vara repetition från kursen Diff&Trans. Viktigt är att förstå alla varianter av Fourierserieutveckling som dyker upp: jämna/udda funktioner, utveckling på "halva" intervall, komplexa Fourierserier. 10.9-10.10 handlar om Fouriertransformen. Här är den komplexa varianten viktigast. Beta (sid 306-317) sammanfattar det man behöver känna till om Fourieranalys. Observera att Beta och kursboken har aningen olika definitioner av Fouriertransformen, vilket förstås är viktigt när man jämför formler. Bland viktiga exempel i kap 10 kan nämnas ex. 1 sid 551, ex 2 sid 571.
• Föreläsning måndag 1/3: Vi fortsatte på kap 11 (som vi börjat på tidigare i samband med Laplacetransformen). Vi tittade på vågekvationen på ett ändligt intervall (stycke 11.3) vilken leder till Fourierserieutveckling samt värmeledning på reella linjen (stycke 11.6, speciellt ex 3 sid 614) vilket kan lösas enkelt med Fouriertransformen. Notera hur enkelt lösningen kan skrivas med hjälp av faltning (formel (19) sid 615).
• Kontrollskrivning tisdag 2/3: Här finns lösningarna till kontrollskrivningen.
• Onsdag 3/3: Kontrollskrivningen är rättad. Resultatlistan finns på Matematikinstitutionens vanliga anslagstavla. Skrivningarna lämnas tillbaka nästa föreläsning.
• Föreläsning tisdag 16/3: Värmeledningsekvationen på ett 1-dimensionellt intervall, lösning med Fourierserieutveckling. Vi löste värmeledningsekvationen i en dimension med olika randvillkor: ändpunkter med konstant temperatur, isolerade ändpunkter. Detta står i stycke 11.5, sid 600-605. Som extrauppgift: beräkna lösningen till motsvarande problem där ena randpunkten är isolerad och den andra hålls med konstant temperatur 0. Vi började också titta på ekvationen för en stationär värmefördelning i ett tvådimensionellt område, detta ger Laplace ekvation (formel (15) sid 605) med randvillkor (ruta överst sid 606). 
• Föreläsning torsdag 18/3: Föreläsningen inställd på grund av sjukdom.
• Föreläsning tisdag 23/3: Vi löste Laplace ekvation med randvillkor på ett rektangulärt område, se sid 605-608. Fortsatte sedan med vågekvationen för ett rektangulärt membran, stycke 11.8 sid 619-625. Observera hur den första separationen av variabler i tid (G(t)) och rum (F(x,y)) leder till två ekvationer.  All väsentlig information finns i lösningarna till ekvationen för F(x,y). I boken kallas denna "Helmholtz ekvation" (7) sid 620, vanligare är att skriva \Delta F = - \nu^2 F, vilket säger att F är en egenfunktion till \Delta med egenvärde -\nu^2. Här (pdf) finns Maple-kommandon som animerar svängningnarna för ett par av de första egenfunktionerna på ett kvadratiskt område med sidlängd pi (i min version av Maple måste man starta animationen med Meny->Animation->Play). Lägg märke till hur hastigheten för svängningnarna ökar ju mer komplicerade egenfunktionerna är. Lägg också märke till hur nodlinjerna (de linjer där egenfunktionen F_mn är lika med noll) är stilla under svängningsrörelsen. Prova även andra värden på m,n (och ändra antalet frames om animationerna blir ryckiga eller långsamma). I detta exempel (pdf) tittar vi på svängningnar av linjärkombinationer aF_13 + bF_31 som alla vibrerar med samma frekvens. Observera att nodlinjerna nu är mer komplicerade än bara räta linjer.
• Föreläsning torsdag 25/3: Vi tittade på Laplaceoperatorn och vågekvationen i polära koordinater, avsnitt 11.9, 11.10. Vi hoppade över många detaljer och det är därför vikitgt att läsa avsnitt 11.10 noggrannt. Här (pdf) finns Maple-kommandon som animerar svängningarna för fundamentalmoderna (fig. 279, s 632).  Prova med olika värden m=1,2,3... Övningarna 11-18 sid 635 visar hur lösningarna blir utan antagandet om cirkulär symmetri.
• Fredag 26/3:Kursplaneringen är uppdaterad.
• Tisdag 30/3:Hemuppgiften finns att hämta här. Den skall återlämnas senast 27/4. Det är tillåtet att arbeta i grupper om max tre personer. 
• Föreläsning tisdag 30/3: Började tala om komplexa tal, komplexa funktioner, deriverbarhet, analytiska funktioner, Cauchy-Riemanns ekvationer.
• Föreläsning torsdag 1/4: Analytiska funktioner har harmoniska real- och imaginärdelar. Analytiska funktioner är konforma. Exponentialfunktionen, trigonometriska funktioner. Läs stycke 12.8 noggrannt själva, logaritmen av ett komplext tal har flera värden! Potensfunktioner, läs stycket efter ekvation (7), sid 690, speciellt hur n-te roten av komplext tal har n olika värden.
• Föreläsning tisdag 27/4: Komplex integration, Cauchys integralsats, deformation av vägen, Cauchys integralformel, sid 704-722. Anmäl er nu till tentamen!   
• Föreläsning torsdag 29/4: Vi gick igenom stycke 13.4 om derivator av analytiska funktioner, lite från 14.4 om Taylorserier, samt började på 15.1 om Laurentserieutveckling och residyer. Observera att kursplaneringen är uppdaterad igen. (stycke 15.1-15.4 ingår i kursen!)
• Föreläsning tisdag 4/5: Integralberäkning med hjälp av residyer. 15.3, sid 781-786, 15.4, sid 787-790.
• Föreläsning torsdag 6/5: Började med vektoranalys. Gick igenom kapitel 8 med definitioner av skalär- och vektorfält, gradient, divergens, rotation. 
• Föreläsning tisdag 11/5: Flödesintegraler av vektorfält genom yta, 9.5-9.6, Divergenssatsen, 9.7. Igen har jag gjort en liten ändring av kursplaneringen.
• Föreläsning torsdag 13/5: Exempel på Divergenssatsen, linjeintegral av vektorfält, Stokes sats stycke 9.8.
• Föreläsning tisdag 18/5: Exempel på Stokes sats och Divergenssatsen. Ej uthämtade kontrollskrivningar och hemuppgifter finns nu på elevexpeditionen. Resultatlista finns på Matematikinstitutionens anslagstavla.
• Tentamen torsdag 27/5: Här finns tentamen med lösningsförslag.
• Fredag 28/5: Tentan är färdigrättad. Resultatlista finns på institutionens anslagstavla. Tentorna finns att hämta på elevexpeditionen.
• Omtentamen fredag 20/8: Här finns tentamen med lösningsförslag.
• Måndag 23/8: Omtentan är färdigrättad. Resultatlista finns på institutionens anslagstavla. Tentorna finns att hämta på elevexpeditionen.
• Omtentamen onsdag 12/1: Här finns tentamen med lösningsförslag.
• Måndag 17/1: Omtentan 12/1 är färdigrättad. Resultatlista finns på institutionens anslagstavla. Tentorna finns att hämta på elevexpeditionen.