SF1643 Tal och Funktioner.          Föreläsningsplanering.

Föreläsningar

Avsnitt i PB1 (Persson-Böiers: Analys i en variabel)

Innehåll (kapitel i PB1):

0. Introduktion
1.Funktioner
A. Komplexa tal.
B. Matematiskt symbolspråk

1. Må 3/9 8-10 F2

  • 0.1 Talsystem

  • B.1 Mängder

  • 0.2 Algebraisk räkning
Området talsystem och mängder innehåller en del beteckningar som skall kännas till, bl.a namnen på de mängder som representerar de naturliga, hela , rationella och reella talen:
N, Z, Q och R.
Även de viktigaste egenskaperna hos bl.a. reella tal hör hit.
Här behöver man också känna till något om beteckningar inom allmän mängdteori.

Faktablad:
F1.1 Talsystem och intervall.
F1.2 De reella talens egenskaper.

I avsnitt 0.2 tränas konjugat- och kvadreringsregler, faktorisering samt bråkräkning.

Träning:
T1.1 Bråk1
T1.2 Bråk2

2. Ti 4/9 8-10 F2

  • 0.3 Ekvationer
 Här genomgås bl.a. andragradsekvationer och rotekvationer. Dessutom genomgås kvadratkomplettering som ligger till grund för pq-formeln för lösning av andragradsekvationer.

Rotekvationer behöver kvadreras för att kunna lösas. Detta innebär dock att falska rötter ibland introduceras, vilket kan upptäckas genom att man prövar rötterna i ursprungsekvationen.

Träning:
T2.1 Kvadratkomplettering

Faktablad:
F2.1 Rotekvationer, tre exempel som visar tre fall där man måste vara försiktig vid lösningen.

Sfs-exempel (Steg-för-steg-exempel):
S2.1 Rotekvation med prövning

3. O 5/9 10-12 D1

  • 0.4 Olikheter
  • 0.5 Räta linjer
  • 0.6 Matematisk teori
  • B.2 Implikation och ekvivalens
  • 1.1 Intervall
  • 1.2 Funktioner

Avsnittet '0.4 Olikheter' behandlar metoden att avgöra tecknet (+ eller -) för olika x för ett polynom eller en rationell funktion. Metoden bygger på faktorisering och teckenbestämning i lämpliga delintervalloch utförs enklast i form av en tabell:
Sfs-exempel:
S3.1 Teckenväxling för en funktion

Föreläsningen ska i övrigt ge exempel på olika typer av matematiska resonemang. Avsnitt 0.6 innehåller bra läsning.

4. To 6/9 10-12 F2

  • 1.3 Absolutbelopp

  • 1.4.1 Förstagradspolynom 1.4.2 Andragradspolynom
  • 1.4.3 Allmän teori för polynom
I föreläsning 4 behandlas bl.a. absolutbeloppet, som inte bara ska ses som en operation på negativa tal utan också som en funktion f(x)=|x|.
Faktablad:
F4.1 Absolutbeloppet

I övrigt behandlas polynom, bl.a faktorisering och polynomdivision.

Sfs-exempel:
S4.1 Polynomdivision 1 med rest.
S4.2 Polynomdivision 2 utan rest.

5. Må 10/9 8-10 F2

  • B.3 Summatecken
  • 0.6 (s.31-32) Aritmetisk summa
  • 1.4.4 Geometrisk summa
  • 1.4.5 Binomialsatsen .
Här övas på användningen av summatecknet som behövs vid behandlingen av
F5.1 Aritmetiska serier
och
F5.2 Geometriska serier.

En annan summa förekommer i binomialsatsen som beskriver hur uttryck av typen (a+b)n utvecklas.
Därvid dyker begrepp upp som
F5.3 Fakultetsfunktionen och binomialkoefficienter.

F5.4 Binomialformeln
och dess binomialkoefficienter kommer man lätt ihåg med hjälp av Pascals triangel.
Dessa begrepp anknyter till det matematiska ämnet kombinatorik där man bl.a besvarar frågor som: På hur många sätt kan man välja ut k objekt ur en mängd med n objekt?

6. Ti 11/9 8-10 F2

  • 1.12 s. 126-127 Induktionsbevis.
Induktionsbevis.
är en viktig bevisprincip för påståenden om de naturliga talen, som bygger på
F6.1 Induktionsaxiomet.

I kurslitteraturen är induktionsbevis inte särskilt framträdande, så vi får förlita oss på de exempel som ges där och här i kurswebben.
Påståenden som lämpar sig för induktionsbevis är av typen: Alla naturliga tal (n=1,2,3,...) har egenskapen P(n). Oftast är P(n) en likhet som innehåller en summa med n stycken termer. Men också påståenden om delbarhet, som 5n-1 är jämnt delbart med 4 för n=1,2,... går bra att visa med induktion.
Faktablad:
F6.2 Induktionsbevis 1 (Likhet med en summa)
F6.3 Induktionsbevis 2 (Olikhet)

7. O 12/9 8-10 F2

  • 1.5 Rationella funktioner
  • 1.8 Inversa funktioner, sammansatta funktioner
Rationella funktioner skrivs som en kvot av polynom. Funktiomems 0-ställen bestäms av täljarens 0-ställen. Nämnarens 0-ställen är normalt x-värden omkring vilka grafen går mot +∞ eller -∞. (∞ är oändlighetstecknet.) Grafen till rationella funktioner kan lätt skisseras om man lyckas faktorisera täljaren och nämnaren.

I 1.8 studeras bl.a. inversfunktioner som aktualiseras senare i anslutning till exponentialfunktioner och logaritmer som är varandras inversfunktioner. Samma gäller trigonometriska funktioner och arcusfunktioner.
Faktablad:
F7.1 Funktioner och inversfunktioner

I 1.8 behandlas även andra allmänna begrepp i anslutning till funktioner, bl.a. sammansatta funktioner .

8. To 13/9 8-10 F2

  • 1.6 Potens- och exponentialfunktioner
  • 1.7 Logaritmer.
Avsnitten med potens-, exponential- och logaritmfunktioner innehåller nödvändig kunskap om funktionernas grafer samt räkneregler för potenser och logaritmer. Notera släktskapen mellan potens- och logaritmlagarna, vilken kommer sig av att logaritm- och exponentialfunktioner är varandras inverser.
Faktablad:
F8.1 Exponential- och logaritmfunktioner.
F8.2 Potens- och logaritmlagar.

Sfs-exempel:
S8.1 Övning på logaritmlagar

Träning:
T8.1 Potenslagar
T8.2 Logaritmer
Animation:
Explog-animation

9. Må 17/9 10-12 F2

  • 1.9 Trigonometriska funktioner
Här studeras framförallt de trigonometriska funktionernas grafer och de viktigaste räknereglerna.
Ekvationer av typen trig(x)=trig(A) (trig: sin, cos eller tan) skall behärskas. I övrigt behöver man kunna ett antal trigonometriska formler. Notera att graferna kan ge information om ett antal formler. Detta diskuteras i faktablad 9.1. Formlernas viktighet diskuteras i 9.2.

Faktablad:
F9.1 Trigonometriska formler 1. (med grafer).
F9.2 Trigonometriska formler 2. (hela listan)

Sfs-exempel:
S9.1 Trigonometrisk ekvation (också övning på trig. formler).
Animation:
Sinus och cosinus

10. Ti 18/9 10-12 F2

  • 1.10 Arcusfunktioner, hyperboliska funktioner
Funktionerna arcsin, arccos, arctan och arccot är inversfunktioner till respektive sin, cos, tan och cot (om dessa begränsas till vissa intervall, se faktabladet). Dessa funktioner spelar en stor praktisk roll i bl.a integralkalkyl.

De hyperboliska funktionerna sinh och cosh kan definieras i termer av exponentialfunktioner och lyder formler som är mycket besläktade med de trigonometriska formlerna.

Faktablad:
F10.1 Arcusfunktioner.

11. O 19/9 15-17 F2

  • A.1-A.6 Komplexa tal 1
Komplexa tal används bl.a i SF1644 (envariabelanalys) i samband med linjära differentialekvationer.
På normalform skrivs ett komplext tal a+ib (a,b reella tal, i2=-1). På polär form, r(cosθ + isinθ), kan man lätt hantera produkter av komplexa tal. Här behöver man kunna använda de trigonometriska funktionerna.
Faktablad:
F11.1 Real- och imaginärdel
F11.2 Polär form och formeln..

12. To 20/9 13-15 F2

  • A7, A.9-A.10 Komplexa tal 2 .
Här studeras de komplexa talens relationer till polynom. En anledning till de komplexa talens stora betydelse är att varje n:egradspolynom kan visas ha precis n stycken komplexa tal som 0-ställen (om man räknar ett dubbelt 0-ställe som 2 stycken osv.).
Ett viktigt resultat här är att ickereella 0-ställen till ett polynom med reella koefficienter alltid bildar konjugerade par (a ± ib ) .
Faktablad:
F12.1 Konjugerade nollställen.

13. O 26/9 10-12 D1

  • Repetition
Dessa två timmar kommer att användas till reflektion över kursen för att därmed ge alla närvarande en chans att få en tillräcklig överblick över densamma.