Aktuell information


Tentamen 23/10-2010 är nu rättad och samtliga tentander klarade sig. Tentorna finns att hämta på matteexpeditionen.


Preliminär tallista

[2010-10-15] Tjugofjärde lektionen

Räknade en gammal tenta. Påpekade att vissa avsnitt ej är relevanta i år, t ex kvalitetskontroll och bayesianska metoder.

[2010-10-13] Tjugotredje lektionen

Räknade 4.2 där man utnyttjade tolkningen av Birnbaums mått som sannolikheten att komponenten är kritisk. Räknade uppgift 4.5 som innebär att man inför ett eget betydelsemått avpassat till syftet - i detta fall att välja komponent att göra underhåll på då systemet fungerar. Vesely-Fussells mått, dvs sannolikheten att åtminstone minimalt snitt där komponenten ingår är nere givet att systemet är nere.

Räknade uppgifterna 4.4, gammalt tentatal om Vesely-Fussells mått (samt om associerade variabler), 4.7, 4.11a.

Sista lektionen frågestund och/eller gammal tenta genomgås.

[2010-10-11] Tjugoandra lektionen

Tillförlitlighetsmässig betydelse. Gick igenom strukturell betydelse och Birnbaums mått, dvs sannolikheten att komponenten är kritisk. Visade att strukturell betydelse kan beräknas med hjälp av Birnbaums mått genom att sätta alla sannolikheter till 1/2. Analyserade ett antal enkla system, bl a seriesystem och parallellsystem samt systemet i uppgift 4.1. Gick vidare igenom kritisk betydelse (criticality importance) som är sannolikheten att komponent är kritisk och trasig givet att systemet är nere. Tittade lite på uppgift 4.3 och beräknade Birnbaums mått och Criticality importance.

[2010-10-08] Tjugoförsta lektionen

Inledning om förnyelseprocesser som generalisering av Poissonprocessen där tiderna mellan händelser hade godtycklig (positiv) fördelning. Räknade uppgifterna 7.1 och 7.2. Kapitlet om förnyelseteori i läroboken kommer vi att ta lätt på förutom de resultat som finns i formelsamlingen angående förnyelseprocesser.

Räknade uppgift 7.5 och 7.8.

[2010-10-07] Tjugonde lektionen

Associerade variabler. Räknade problem 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, och 6.8. Indikerade hur man kan visa satsen att för binära X och Y så innebär C(X,Y)≥0 att X och Y är associerade genom att gå igenom alla fall.

[2010-10-06] Nittonde lektionen

Om beroende mellan komponenter och alldeles särskilt begreppet associerade variabler som skall avspegla ett slags "positivt" beroende mellan komponenterna. Visade ett antal satser om dessa och tog framför allt fram olikheter för funktionssannolikheten för koherenta system av associerade komponenter.

Räknade ett gammalt tentatal som tillämpning på uppskattningar av funktionssannolikheten.

[2010-10-05] Artonde lektionen

Duala system introducerades genom att uppgift 3.10 räknades. Visade att det duala system kan fås genom att byta serie och parallellkoppling. Räknade uppgift 3.14 som illustration på hur man kan gå från strukturfunktion till felträd.

Räknade uppgifterna 3.17, 3.16, 3.18, 3.22.

[2010-09-29] Sjuttonde lektionen

Visade att komponentvis redundans är tillförlitligare än systemvis redundans.

Räknade uppgift 3.8 och 3.9 som illustration på hur man "inverterar" strukturfunktion, dvs går från strukturfunktion till blockstruktur.

Räknade 3.1 a för att öva på att ta fram minimala snitt och minimala vägar.

Introducerade felträd och utförde MOCUS-algoritmen enligt bokens exempel som alltså visar hur man kan gå från felträd till strukturfunktion.

Lite om oberoende komponenter och visade att om strukturfunktionen är i grundform (inga potenser) ersätts de binära variablerna med sannolikheterna. Löste uppgift 3.13 som en illustration.

[2010-09-28] Sextonde lektionen

Avslutade avsnittet om Markovmodeller med att lösa uppgift 5.8.

Kap 4 i HHR om strukturfunktioner. Om strukturfunktioner (binära funktioner av binära argument). Definition av relevanta komponenter och koherenta system. Exemplifierade med seriesystem, parallellsystem samt 2 av 3-system. Definierade vägar, snitt och minimala vägar och minimala snitt. Visade att ett koherent system kan beskrivas av parallellkoppling av de minimala vägarna och dessutom som en seriekoppling av de minimala snitten. Lite om pivotal dekomposition (dela upp efter om en viss komponent funkar respektive inte fungerarar.)

Tog exempel 4.2 ur boken och införde i samband med det den användbara tekniken att pivotera kring en komponent. Talade om vikten att få strukturfunktionen i grundform (dvs utan potenser i x-variablerna.)Använde även de minimala snitten och minimala vägarna för att få fram strukturfunktionen.

[2010-09-27] Femtonde lektionen

Markovmodeller. Löste 5.7, 5.9, 5.10, 5.12 - genomförde inte alla detaljer men införde tillstånd och beräknade Q samt indikerade hur man räknar ut det sökta.

[2010-09-24] Fjortonde lektionen

Markovmodeller: Påpekade först att i 5.3 var begreppen MDT (Mean Down Time) och MTBF (Mean Time Between Failures) inte väldefinierade. De fungerar bra om det bara finns ett enda systemfelstillstånd. Räknade 5.4, 5.5a och 5.6 som illustration på hur olika situationer kan modelleras med Markovmodeller.

[2010-09-23] Trettonde lektionen

Begreppet födelsedödsprocess och hur man kan hitta den stationära fördelningen algoritmiskt. Dessutom behandlades M/M/1-system , dvs ett betjäningssystem där kunder anländer enligt en Poisson(λ)-process och (eventuellt) köar och sen får betjäning som tar en Exp(μ)-fördelad tid. Fann att det existerar en stationär fördelning om λ<μ och att processen är ergodisk. Vidare räknades uppgift 55 (Ehrenfests urnmodell) vad gäller stationär fördelning som visades vara Bin(N,1/2) - ett resultat som i efterhand är nästan självklart.

Markovmodeller. Räknade 5.2, 5.3.

[2010-09-22] Tolfte lektionen

Poisson-processen. Definition som Markovprocess samt som process med tillskott som är Poissonfördelade samt med oberoende inkrement på disjunkta tidsintervall. Borde också ha konstaterat att summan av oberoende Poisson-processer är en Poisson-process. Räknade 43, 45, 48 där 48 handlade om oberoende p-uttunning. Räknade uppgift 52 som illustration på födelse-process. Begreppet födelsedödsprocess och påpekade att det finns en algoritm för att hitta den stationära fördelningen.

[2010-09-21] Elfte lektionen

Lite om tid till absorbtion samt om stationaritet samt ergodicitet. Löste de delar av uppgift 34 som innehöll dessa moment.

Visade hur ett tillförlitlighetssystem med två parallellkoplade enheter med exponentialfördelade livslängder och med exponentialfördelade reparationstider (alla är oberoende) enligt exempel 5.1 i blå övningskompendiet kan modelleras som en Markovprocess samt hur man lätt får fram övergångsintensitetsmatrisen Q. Framför allt kommer vi att göra resonemang där man betraktar vad som kan hända under ett kort tidsintervall h och hålla reda på sannolikheter som är av storleksordningen h - det är dessa som ingår i Q.

Diskuterade att man ibland som i uppgift 5.1 kan klumpa ihop tillstånd men att man noga skall tänka igenom detta så att man inte tappar Markoviteten. I situationen i uppgift 5.1 kan man klumpa ihop till att bara hålla reda på hur mång komponenter som fungerar, dvs man behöver bara 3 tillstånd.

Begreppen MTTF (Mean Time To Failuire), MTBF (Mean Time Between Failure) och MDT (Mean Down Time) samt sambandet MTBF=MTTF+MDT. Dock varnades för att olika böcker definierar dessa begrepp lite inkonsekvent. Dessutom: Dessa storheter är inte alltid väldefinierade. Begreppet Asymptotisk tillgänglighet A(∞) och sambandet A(∞)=MTTF/MTBF=MTTF/(MTTF+MDT) alternativt 1-A(∞)=MDT/MTBF=MDT/(MTTF+MDT)

Visade hur stationära fördelningen kan tolkas som andel av tiden som tillbringas i de olika tillstånden samt hur cykelresonemang kan användas.

[2010-09-17] Tionde lektionen

Inledning om kontinuerlig tid. Markovegenskapen och Chapman-Kolmogorovs ekvationer. Begreppet reguljär process, dvs ändligt många övergångar på ändlig tid samt att uppehållstiderna är strikt positiva.

Obetingade sannolikheter och hur dessa fås ur initialfördelning och övergångsmatris.

Motiverade med hjälp av Markovegenskapen att uppehållstiderna måste vara exponentialfördelade eftersom detta är den enda minneslösa fördelningen.

Det stora problemet är att övergångsmatrisen P(t) inte lätt kan skrivas upp och man inför därför dess derivata Q (intensitetsmatrisen) vilket innebär att

P(h)=I+hQ+o(h) för små h där I är identitetsmatrisen.

Begreppet övergångsintensitetsmatris Q och egenskaper hos denna som att radsumman=0.

Visade hur man får fram dynamiken ur Q. Diagonalelementen ger parametern för den exponentialfördelade uppehållstiden och man hoppar sen med sannolikheter proportionella mot icke-diagonalelementen.

Tog fram Kolmogorovs framåt- respektive bakåtekvationer. Lite om stationaritet samt ergodicitet. Löste uppgift 34 som innehöll dessa moment dvs allt utom tid till absorption.

[2010-09-16] Nionde lektionen

Lite om grafteoretiska aspekter, t ex "i leder till j", "i kommunicerar (tvåsidigt) med j" samt att detta utgör en ekvivalensrelation och alltså delar upp tillståndsrummet E i disjunkta irreducibla (alla kommunicerar) delklasser. Begreppet sluten delklass (inga pilar ut ur delklassen). Visade att en ändlig kedja alltid har minst en sluten irreducibel delklass.

Begreppet ergodisk kedja, dvs en som har ett asymptotiskt uppträdande som ej beror av startfördelningen.

Begreppet period för ett tillstånd samt att tillstånd som kommunicerar har samma period. Aperiodiskt tillstånd betyder perioden 1. Huvudsatsen om att en ändlig kedja är ergodisk om och endast om den bara har en sluten irreducibel delklass som är aperiodisk. Denna måste vara en tidsinvariant fördelning. Konvergensen går ytterst snabbt.

Räknade uppgift 8 som illustration till hur man visar att en kedja är ergodisk. Visade också att kedjan i 5a är ergodisk och att alltså den (unika) stationära fördelningen vi tog fram också är den asymptotiska (efter lång tid).

Pratade lite om cykler och sa att πi=1/E(Ti) där Ti är tiden mellan två besök i tillstånd i (en cykel). Dessutom erhålls att πji är förväntat antal besök i tillstånd j mellan två besök i tillstånd i. Lite om cykler och ergodicitet.

[2010-09-14] Åttonde lektionen

Inledning om Markovprocesser. Definition av Markovegenskapen (minneslöshet). Visade Chapman-Kolmogorovs ekvationer.

Tag med det röda kompendiet om Markovprocesser i fortsättningen.

Ungefärligt innehåll om Markovprocesser.

Räknade uppgift 1.

Räknade uppgift 16 som illustration av hur enkelt man beräknar övergångsmatrisen ur en konkret beskrivning av situationen samt hur man kan analysera absorbtionskedjor vad gäller sannolikhet för absorption i olika tillstånd samt tid till absorbtion.

Begreppet tidsinvarianta (stationära) fördelningar dvs sannolikhetsvektorer π som uppfyller π=πP. Tips om hur detta löses i Matlab genom att man kan stryka godtycklig ekvation förutom normeringsekvationen. Sats om att om E är ändligt finns alltid minst en tidsinvariant fördelning.

För den intresserade ges här ett bevis för att det alltid finns minst en stationär fördelning om tillståndsrummet är ändligt.

[2010-09-10] Sjunde lektionen

Behandlade Kaplan-Meier-estimatorn (product limit estimator) som skattar överlevnadsfunktionen oavsett fördelning och då man har Typ IV-censurering (varje enskilt data kan vara censurerat). Räknade 2.4 som illustration. Metodiken kallas ibland överlevnadsanalys (survival analysis).

Gick igenom Nelsonestimatorn (alternativ till Kaplan-Meier-estimatorn vad gäller skattning av överlevnadsfunktion). Räknade ut estimatorn för data i 2.4.

Snabb genomgång av skattningsmetodiken vad gäller Weibull-fördelade data. Tog fram Likelihoodfunktionen då vi har Typ II-censurering och hur ML-ekvationerna ser ut. Gick igenom användning av Weibull-papper för numerisk skattning av parametrarna i Weibull-fördelningen.

I nästa vecka behandlas Markovprocesser - tag med det röda kompendiet av Enger och Grandell.

[2010-09-09] Sjätte lektionen

Analys av livslängdsdata. ML-skattning vid fullständiga exponentialfördelade data samt ML-skattning vid Typ II censurering (avbryter försöket då r:te felet uppstår) utan återläggning (utan ersättning av felande komponenter). Visade att i båda fallen var ML-skattningen λ*=r/T(x(r)).

Visade för exponentialfördelade mätdata att 2λT(x(r)) är χ2(2r) vid Typ II-censurering (provningen avbryts efter r observerade fel) både då trasiga enheter ersätts och då de inte ersätts. Räknade 2.11, 2.15. Gick igenom Typ I-censurering (provningen avslutas efter fix tid t0) och att man då får approximativa konfidensintervall om man analyserar som vid Typ II-censurering.

[2010-09-07] Femte lektionen

Införde "Empirisk fördelningsfunktion" och visade sambandet mellan TTT-plot och empirisk fördelningsfunktion. Införde TTT-transformen HF-1(v) och hur TTT-plotten skattar den skalade TTT-transformen (TTT-transformen delad med väntevärdet=HF-1(1).Visade att exponentialfördelningen har linjär TTT-transform. TTT-transformen visar om fördelningen är IFR eller DFR och därför kan vi använda TTT-plotten (med viss försiktighet) på samma sätt.

Behandlade materialet om TTT-plot och optimalt utbyte. Löste problem 2.6 som tillämpning. Liknande problem utför första delen av inlämningsuppgift 1 och inlämningsuppgifterna delades ut.

Analys av fullständiga exponentialfördelade livslängdsdata där man tog fram skattning med ML-metoden.

[2010-09-03] Fjärde lektionen.

Inledning om analys av livslängdsdata. Beskrev hur vi kan ha fullständiga data, ha data fram till en fix tid (typ I-censurering), ha data fram till ett fixerat antal gått sönder (typ II-censurering), ha data fram till det första av dessa (typ III-censurering). Begreppet "total time on test" (TTT). Gick igenom TTT-plot samt räknade uppgift 2.2 samt gav lite tips om hur Matlab kan användas som kan vara till nytta för den första datoruppgiften genom att räkna uppgift 2.1 med hjälp av Matlab. Nämnde att TTT-ploten kan användas för att se om fördelningen är IFR, DFR eller exponentialfördelad - saker som visa som satser senare i veckan.

Införde begreppet "Empirisk fördelningsfunktion".

[2010-09-02] Tredje lektionen.

Räknade på allmän begäran uppgift 1.8.

Begreppet NBU (New better than used) dvs att P(T>x+y)≤P(T>x)P(T>y) och tolkningen som betingad sannolikhet att P(T>x+y|T>x)<P(T>y). Visade att IFRA medför NBU.

Räknade 1.6 och 1.7 om minimum av oberoende Weibull-fördelade variabler med samma formparameter c.

Poisson-processen som modell av begreppet "händelser som inträffar fullständigt slumpmässigt i tiden". Visade att tiden mellan händelser i en Poisson-process är exponentialfördelade. Införde Γ(n,λ)-fördelningen som fördelningen för summan av n oberoende Exp(λ)-fördelade variabler samt dess täthet.

Gick igenom några egenskaper hos Poisson-processen och exponentialfördelningen, dvs att givet att en händelse skett på ett tidintervall i Poissonprocessen så är läget likformigt placerat.

[2010-08-31] Andra lektionen.

Räknade 1.12 som illustration för hur avtagande felintensitet kan uppkomma genom att det finns en blandning av bra och dåliga komponenter.

Räknade uppgift 1.3 som illustration av formlerna för E(T) och E(T2).

Införde klassen IFRA (felintensiteten växer i genomsnitt) och DFRA (felintensiteten avtar i genomsnitt). Visade att IFR medför IFRA (på samma sätt kan man visa att DFR medför DFRA). Orsaken till att vi vill studera en utvidgad klass är att system med oberoende komponenter som är IFR inte nödvändigvis är IFR. Ett exempel på att ett system av oberoende IFR-komponenter inte behöver vara IFR. (Innehåller också ett resultat som bygger på material från en senare del av kursen om att system av oberoende IFRA-komponenter är IFRA).

Tog fram minneslösheten hos exponetialfördelningen och tolkningen av detta. Vidare att för exponentialfördelningen gäller P(T>x+y)=P(T>x)P(T>y) eller ekvivalent att P(T>x+y|T>x)=P(T>y) samt att detta är en unik egenskap hos exponentialfördelningen.

[2010-08-30] Första lektionen.

Repetition av viktiga begrepp från grundkursen. Sannolikhets-, täthets- och fördelningsfunktion och deras samband. Definierade överlevnadsfunktion och felintensitet och deras samband. Badkarskurvan. Räknade tal 1.1 från problemsamlingen.

Räknade i princip 1.2, dvs tog fram felintensiteten för Weibullfördelning och såg att (beroende på formparametern c) så antingen växte felintensiteten, var konstant eller avtog. Definierade klasserna IFR (Increasing Failure Rate) och DFR (Decreasing Failure Rate) och att alltså Weibullfördelningen var DFR då formparametern uppfyllde 0< c≤1 och IFR då c≥1 samt både IFR och DFR då c=1 (exponentialfördelningen).

Gjorde en snabb genomgång av formeln för E(Tr) speciellt E(T) och E(T2) som bevisas med partiell integration.


[Kurshemsidan]     [Kursförteckning]     [Avdelningen Matematisk statistik]
Sidansvarig: Gunnar Englund
Uppdaterad: 2008-08-20