Aktuell information för kursen SF1901 Sannolikhetsteori och statistik, 6hp, för CINEK2, period 2, ht 2017.
Här ges fortlöpande information om schemaändringar, vad som gåtts igenom på föreläsningar etc.

Kontrollskrivning

Svar och lösningsförslag till kontrollskrivningen onsdag 22/11 kl 08-10 finns här.

Övningar

Övningsgruppen med Jörgen Säve Söderbergh (Q33) ställs in från och med vecka 46 på grund av bristande studentunderlag. På övning 6-15 kommer det således endast att finnas två övningsgrupper (med Björn-Olof Skytt respektive Henrik Sjökvist som övningsassistenter).

Föreläsningsinformation

Föreläsning 10 (171128)

Thomas Önskogs föreläsningsanteckningar

Tatjana Pavlenkos föreläsningsanteckningar

Föreläsning 9 (171123)

Föreläsning 9 var första föreläsningen om statistikteori. Givet ett slumpmässigt stickprov med numeriska mätdata vill vi uppskatta en eller flera parametrar (exempelvis väntevärdet eller variansen) i den fördelning som stickprovet antas komma från. Vi introducerade begreppet punktskattning, som är en funktion av stickprovet som för varje stickprov ger ett värde på den okända parametern. Stickprovet x kan ses som ett utfall av en stokastisk variabel X och på samma sätt kan punktskattningen ses som ett utfall av en stickprovsvariabel (där vi sätter in X istället för x i funktionen som definierar punktskattningen). Vi definierade begreppen väntevärdesriktighet, konsistens och effektivitet för punktskattningar och visade att stickprovsmedelvärdet och stickprovsvariansen kan användas som punktskattningar av väntevärdet och variansen. Vi avslutade med att diskutera minsta kvadrat-metoden och maximum likelihood-metoden som är generella metoder för att härleda punktskattningar.

Thomas Önskogs föreläsningsanteckningar

Tatjana Pavlenkos föreläsningsanteckningar

Föreläsning 8 (161122)

Föreläsning 8 behandlade tre diskreta fördelningar, nämligen binomialfördelningen, Poissonfördelningen och den hypergeometriska fördelningen. Vi började med att visa att Bin(n,p)-fördelade stokastiska variabler kan ses som en summa av n oberoende Be(p)-fördelade stokastiska variabler. Detta synsätt användes dels för att bestämma väntevärde och varians för binomialfördelade stokastiska variabler, dels för att kunna applicera centrala gränsvärdessatsen och visa att binomialfördelningen är asymptotiskt normalfördelad. Vi undersökte hur normalapproximationen av binomialfördelningen kan göras ännu bättre med så kallad halvkorrektion. Vi studerade därefter Poissonfördelningen som fås från binomialfördelningen om vi låter n gå mot oändligheten och p mot noll. Vi visade en additionssats för Poissonfördelade stokastiska variabler och drog därefter slutsatsen att en normalapproximation är möjlig även för Poissonfördelade stokastiska variabler. Vi avslutade med att undersöka den hypergeometriska fördelningen och visade hur den uppkommer i urnmodeller med återläggning. Även hypergeometriskt fördelade stokastiska variabler kan skrivas som en summa av Bernoullifördelade stokastiska variabler som dock blir beroende i detta fall, eftersom dragningen sker med återläggning. Om antalet kulor i urnan är mycket stort är motsvarande hypergeometriskt fördelade stokastiska variabler approximativt binomialfördelade.

Thomas Önskogs föreläsningsanteckningar

Tatjana Pavlenkos föreläsningsanteckningar

Föreläsning 7 (171115)

Föreläsning 7 behandlade normalfördelningen. Vi undersökte först den standardiserade normalfördelningen och dess täthets- och fördelningsfunktioner samt visade hur fördelningsfunktioner och kvantiler kan bestämmas ur tabeller. Vi fortsatte sedan med allmänna normalfördelningar och visade hur dessa kan överföras till standardiserade normalfördelningar med hjälp av en linjär transformation (subtrahera väntevärdet och dividera med standardavvikelsen). Vi noterade sedan att linjärkombinationer av oberoende normalfördelade stokastiska variabler är normalfördelade och att det aritmetiska medelvärdet av oberoende normalfördelade stokastiska variabler är normalfördelat. Som varning för att det krävs någon form av oberoende för att summor av normalfördelade stokastiska variabler skall bli normalfördelade ges följande motexempel. Vi avslutade med att diskutera centrala gränsvärdessatsen, som säger att även aritmetiska medelvärden av n oberoende, likafördelade (men inte nödvändigtvis normalfördelade) stokastiska variabler är approximativt normalfördelade för stora värden på n. Figur 7 visar en jämförelse mellan sannolikhetsfunktionen för det aritmetiska medelvärdet av n oberoende Po(1)-fördelade stokastiska variabler och täthetsfunktionen för motsvarande normalfördelning. För den intresserade: Ett bevis av centrala gränsvärdessatsen med hjälp av Laplacetransform (momentgenererande funktion) samt ett bevis med hjälp av Fourier-transform (karakteristisk funktion).

Thomas Önskogs föreläsningsanteckningar

Tatjana Pavlenkos föreläsningsanteckningar

Föreläsning 6 (171113)

Föreläsning 6 inleddes med att vi visade att väntevärdet är en linjär funktion, dvs att väntevärdet av en linjärkombination av stokastiska variabler är lika med en linjärkombination av väntevärdena av de stokastiska variablerna. Vi definierade kovariansen och korrelationskoefficienten som mått på det linjära beroendet mellan två stokastiska variabler och visade att oberoende stokastiska variabler också är okorrelerade, dvs har kovarians noll. Vi härledde även en formel för variansen av en linjärkombination av stokastiska variabler och avslutade med stora talens lag som säger att det aritmetiska medelvärdet av summor av oberoende, likafördelade stokastiska variabler konvergerar mot väntevärdet (jfr relativa frekvensers stabilitet). Figur 6 visar hur täthetsfunktionen för det aritmetiska medelvärdet av n oberoende N(1,1)-fördelade stokastiska variabler närmar sig väntevärdet 1 när n går mot oändligheten. Vi bevisade stora talens lag med hjälp av Markovs olikhet.

Thomas Önskogs föreläsningsanteckningar

Tatjana Pavlenkos föreläsningsanteckningar

Föreläsning 5 (171108)

Föreläsning 5 inleddes med tvådimensionella stokastiska variabler. Vi definierade simultana sannolikhets- och täthetsfunktionerna för diskreta respektive kontinuerliga tvådimensionella stokastiska variabler. Vi definierade också den simultana fördelningsfunktionen och visade hur de marginella sannolikhets- och täthetsfunktionerna kan bestämmas genom summering eller integration. Figur 5 visar ett exempel på en simultan täthetsfunktion för tvådimensionell normalfördelning. Vi definierade oberoende stokastiska variabler och såg hur oberoende kan avgöras från fördelnings-, sannolikhets- och täthetsfunktionerna. Vi undersökte hur fördelningen för maximum och minimum av två oberoende stokastiska variabler kan bestämmas (men hann inte med faltningsformeln för summan av två oberoende stokastiska variabler). Vi avslutade med att definiera väntevärde, varians och standardavvikelse för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler, samt räknade ut dessa för ett par olika sannolikhetsfördelningar.

Thomas Önskogs föreläsningsanteckningar

Tatjana Pavlenkos föreläsningsanteckningar

Föreläsning 4 (171106)

Föreläsning 4 inleddes med en undersökning av fördelningsfunktionen, som kan användas för att beskriva både diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler. Vi undersökte sambandet mellan fördelningfunktionen och sannolikhets- och täthetsfunktionerna och pratade om vad som menas med en kvantil. Vi definierade sedan ett par viktiga kontinuerliga sannolikhetsfördelningar, såsom exponentialfördelningen och normalfördelningen, och diskuterade deras egenskaper och användningsområden. Figur 3 visar några exempel på exponentialfördelningar med parametervärden 0.5, 1 respektive 2 och Figur 4 visar några exempel på normalfördelningar med olika värden på parametrarna mu och sigma. Vi undersökte sedan funktioner av stokastiska variabler och visade hur fördelningen av en monoton funktion av en stokastisk variabel kan bestämmas. Vi avslutade med en introduktion till tvådimensionella stokastiska variabler.

Thomas Önskogs föreläsningsanteckningar

Tatjana Pavlenkos föreläsningsanteckningar

Föreläsning 3 (171101)

Föreläsning 3 behandlade stokastiska variabler. Vi definierade först diskreta stokastiska variabler, vilka kan anta ett ändligt eller uppräkneligt oändligt antal olika värden. Vi definierade sannolikhetsfunktionen, undersökte dess egenskaper och bestämde sannolikhetsfunktionerna för några vanligt förekommande diskreta sannolikhetsfördelningar, såsom likformiga fördelningen, Bernoullifördelningen, ffg-fördelningen, binomialfördelningen och Poissonfördelningen. Figur 1 visar några exempel på binomialfördelningar med n = 20 och p = 0.1, p = 0.25, p = 0.5 respektive p = 0.75. Vi visade hur Poissonfördelningen kan härledas som en approximation av binomialfördelningen. Figur 2 visar en jämförelse mellan Bin(20,0.1) och Po(2). Vi definierade även kontinuerliga stokastiska variabler, vilka kan anta alla värden i ett eller flera intervall på tallinjen. Vi kan tolka en kontinuerlig stokastisk variabel som att den totala sannolikhetsmassan är utspridd på tallinjen och fördelningen av sannolikhetsmassan bestäms av täthetsfunktionen. Sannolikheten att värdet på en kontinuerlig stokastisk variabel ligger i ett visst intervall fås genom att integrera täthetsfunktionen över intervallet i fråga.

Thomas Önskogs föreläsningsanteckningar

Tatjana Pavlenkos föreläsningsanteckningar

Föreläsning 2 (171031)

Föreläsning 2 inleddes med en del kombinatorik. Vi undersökte på hur många sätt som vi kan välja ut k element ur en mängd med n element om urvalet sker med respektive utan återläggning. Vi visade sedan detta kan komma till användning vid analys av urnmodeller, som i sin tur är användbara inom kvalitetskontroll. Vi undersökte betingade sannolikheter, visade satsen om total sannolikhet samt Bayes sats för att "vända på en betingning". Exemplet om sjukdomsdiagnostik är hämtat från en artikel i Scientific American från januari 2012. Vi avslutade med oberoende händelser.

Thomas Önskogs föreläsningsanteckningar

Tatjana Pavlenkos föreläsningsanteckningar

Föreläsning 1 (171030)

Föreläsning 1 inleddes med en kort introduktion till ämnet matematisk statistik och några exempel på tillämpningar av matematisk statistik. Vi diskuterade även vad sannolikhetsteori och statistikteori innebär och pratade om deskriptiv statistik (läs kapitel 10 på egen hand). Vi definierade de grundläggande sannolikhetsteoretiska begreppen slumpförsök, utfall, utfallsrum och händelse med exempel på diskreta utfallsrum. Vi visade att händelser kan tolkas som mängder och att mängdlärans operationer komplement, union och snitt därmed är applicerbara. Vi gick igenom Kolmogorovs axiomsystem och några satser som följer ur detta samt diskuterade kopplingen mellan relativa frekvensen och sannolikheten för en händelse. Vi hann inte med den klassiska sannolikhetsdefinitionen som är användbar då utfallen kan anses vara lika sannolika utan inleder föreläsning 2 med detta.

Thomas Önskogs föreläsningsanteckningar

Tatjana Pavlenkos föreläsningsanteckningar


[Kursförteckning]     [Avdelningen Matematisk statistik]
Sidansvarig: Thomas Önskog
Uppdaterad: 2017-10-24